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1、整体思想与分类讨论思想在解题中的应用整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养思维的灵活性、敏捷性整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等在初中数学中整体思想都有很好的应用一化简求值中的整体思想例1.已知，则的值等于 （ ）A. B. C. D.分析：根据条件显然无法计算出，的值，可以将条件变形为，即，再整体代入求解例2已知，求多项式的值分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到，只要求得
2、，这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了解：由已知得，所以，原式说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化二方程(组)与不等式（组）中的整体思想例3已知，且，则的取值范围是 分析：本题如果直接解方程求出，再代入肯定比较麻烦，注意到条件中是一个整体，因而我们只需求得，通过整体的加减即可达到目的解：将方程组的两式相加，得：，所以，从而，解得例4 解方程组分析：如果选用代入法解答，比如由得，x= ,再代入，得2003（）+2002y=2004解答起来十分麻烦. 如果选用加减法，比如，2003-
3、 2002，可以消去x，得20032003y-20022002y=20012003- 20042002形式也很复杂，不易求解. 注意到两个方程的系数正好对调这一特征，先将两方程相加，+，得4005x + 4005y = 4005化简，得 x+y=1 再将两方程相减， - ，得 -x + y = - 3即 x-y=3 由、组成方程组，得解这个方程组得整体思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑【巩固练习】：x+2y=4k+12x+y=k+2 且x+y=336,则k
4、值等于 例5 有甲、乙、丙三种货物，若购甲件，乙件，丙件，共需元；若购甲件，乙件，丙件，共需元现在计划购甲、乙、丙各件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各件的钱数看成一个整体，问题就可能解决 解：设购甲、乙、丙各件分别需元、元、元 依题意，得，即 解关于，的二元一次方程组，可得（元） 答：购甲、乙、丙各件共需元说明：由于我们所感兴趣的不是、的值，而是这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果三函数与图象中的整体思想例6已知和成正比例（其中、是常数） （1）求证：是的一次函数； （2
5、）如果时，；时，求这个函数的解析式.解：（1）因与成正比例，故可设 整理可得 因，、为常数，所以是的一次函数. （2）由题意可得方程组 解得，. 故所求的函数解析式为说明：在解方程组时，单独解出、是不可能的，也是不必要的故将看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法四几何与图形中的整体思想例7如图， 分析：由于本题中无任何条件，因而单个角是无法求出的利用三角形的性质，我们将视为一个整体，那么应与中的外角相等，同理，分别与，的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了解：因为，,根据三角形外角定理，得，所以说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类
6、问题的关键用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功 分类讨论思想2、等腰三角形的分类讨论： a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_。练习若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情
7、形。若设这个等腰三角形的腰长是cm，底边长为cm，可得或解得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。例6、已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为（ ）A. 30B. 75C. 105D. 30或75练习1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45，图2中顶角为135。2、在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则底角B=_。3、直角三角形中，直角边和斜边
8、不明确时需要分类讨论 例7、已知直角三角形两边长分别为5和12，则第三边的长是 。【巩固练习】：1当代数式-b的值为3时，代数式2-2b+1的值是 ( ) A5 B6 C7 D82用换元法解方程(x2+x) 2+2(x2+x)1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为 ( ) Ay2+2y+1=0 By22y+1=0 Cy2+2y1=0 Dy22y1=03当x=1时，代数式x3+bx+7的值为4，则当x=l时，代数式x3+bx+7的值为 A7 B10 C11 D12 ( )4若方程组的解x，y满足0x+y1，则k的取值范围是 ( ) A4k0 B1k0 C0k45已知，则代数式的值为_6已知x22x1=0，且x0，则=_7在三角形ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成40度的角，求等腰三角形底角的度数。9已知一个等腰三角形的一腰上的高等于这边的一半，求顶角的度数。6
