母题六 函数概念与性质【母题原题1】【2018上海卷，11】已知常数a>0，函数的图像经过点、，若，则a=__________.【答案】6【母题原题2】【2018上海卷，4】设常数，函数f(x)=log2(x+a)，若f(x)的反函数的图像经过点(3,1)，则a= 答案】【解析】由于互为反函数的函数图象关于直线对称，所以由已知，函数的图象过点，所以.【母题原题3】【2017上海卷，8】定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为________.【答案】-8【解析】 由，则，所以的解为.【母题原题4】【2016上海卷，18】设、、是定义域为R的三个函数，对于命题：①若、、均是增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.（A）①和②均为真命题 （B）①和②均为假命题（C）①为真命题，②为假命题 （D）①为假命题，②为真命题 【答案】D【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.【命题意图】以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查综合分析问题解决问题的能力和抽象转化的数学思想；【命题规律】 高考对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等或中等上,热点是三者之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”。
答题模板】解答本类题目,一般考虑如下三步：第一步：由奇偶性和对称性判断周期性；第二步：利用周期性研究函数一个周期性的性质；第三步：综合已知条件得结论方法总结】 1.若，则函数的图象关于对称.2.若，则函数的图象关于对称.3.若函数关于直线和对称，则函数的周期为.4. 若函数关于直线和点对称，则函数的周期为.5. 若函数关于点和点对称，则函数的周期为.6. 若函数是奇函数，且关于对称，则函数的周期为.7. 若函数是偶函数，且关于对称，则函数的周期为.8. 若函数是奇函数，且关于对称，则函数的周期为.9. 若函数是偶函数，且关于对称，则函数的周期为.10.若函数满足，，均可以推出函数的周期为.1．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】下列函数是奇函数的是（ ）．A. B. C. D. 【答案】B2．【2016-2017年上海市闵行区高三4月质量调研考试（二模）】设函数的定义域是，对于以下四个命题：(1) 若是奇函数，则也是奇函数；(2) 若是周期函数，则也是周期函数；(3) 若是单调递减函数，则也是单调递减函数；(4) 若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．其中正确的命题共有A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C3．【2017-2018上海市杨浦区高三数学一模】给出下列函数：①；② ；③ ；④ .其中图像关于轴对称的函数的序号是（ ）A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④【答案】B【解析】对于①，的定义域为，定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；对于②， 是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件；对于③， 是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件；对于④， 是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件. 故选B4．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】函数，对于且（），记，则的最大值等于____．【答案】16【解析】所以。
点睛：本题考查函数最值及值域的应用函数题型能利用图象的话，一般都应该借助图象解题，这样可以直观、简洁本题中关键是理解多个绝对值的和的概念，每个绝对值都代表两点的垂直距离，所以它们的和的最大值就是各段的最值的距离之和5．【上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模）】设是定义在R上以2为周期的偶函数，当时， ，则函数在上的解析式是________【答案】6．【上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】若函数是奇函数，则实数________.【答案】【解析】因为函数是奇函数，所以，即，解得，经检验符合题意，故答案为.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 或求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.7．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】若函数是偶函数，则该函数的定义域是_______________．【答案】8．【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研（一模）】已知函数是定义在上且周期为的偶函数,当时，则的值为__________.【答案】【解析】由题意知， ，又，所以，故填.9．【上海市徐汇区2018届高三一模】已知函数和的图像关于y轴对称，当函数和在区间上同时递增或者同时递减时，把区间叫做函数的“不动区间”，若区间[1,2]为函数的“不动区间”，则实数t的取值范围是_____【答案】【解析】当时， 在[1,2]上单调递增， 在[1,2]上单调递减，不合题意；当时，令 ，则需 点睛：已知函数单调性求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．10．【上海市浦东新区2018届高三数学一模】已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是________【答案】11．【上海市浦东新区2018届高三数学一模】已知函数的反函数是，则________【答案】3【解析】设，则即∴∴故答案为：312．【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试】已知函数是奇函数，当时， ，且，则_____．【答案】【解析】是奇函数，且当时， ， ，解得，故答案为.。
