第八章假设检验*第六章假设检验§1假设检验的基本思想一. 引例二. 假设检验的一般步骤三. 两类错误§2单个正态总体参数的假设检验一 检验法二 检验法2检验第22、23次课4学时第八章假设检验一.教学基本要求1．理解显著性检验的基本思想，了解假设检验可能产生的两类错误知道两类错误概率，并在较简单的情况能计算两类错误概率，掌握假设检验的基本步骤2. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验3. 了解总体分布假设的/拟合优度检验法本章重点：正态总体的参数的假设检验二.内容提要1．假设检验的基本概念假设检验是基于样本判定一个关于总体分布的理论假设是否成立的统计方法方法的基本思想是当观察到的数据差异达到一定程度时，就会反映与总体理论假设的真实差异，从而拒绝理论假设原假设与备选假设是总体分布所处的两种状态的刻画，一般都是根据实际问题的需要以及相关的专业理论知识提出来的通常，备选假设的设定反映了收集数据的目的检验统计量是统计检验的重要工具，其功能在用之于构造观察数据与期望数之间的差异程度要求在原假设下分布是完全已知的或可以计算的检验的名称是由使用什么统计量来命名的否定论证是假设检验的重要推理方法，其要旨在：先假定原假设成立，如果导致观察数据的表现与此假定矛盾，则否定原假设。
通常使用的一个准则是小概率事件的实际推断原理2．两类错误概率第一类错误概率即原假设成立，而错误地加以拒绝的概率；第二类错误概率即原假设不成立，而错误地接受它的概率3．显著水平检验在收集数据之前假定一个准则，即文献上称之为拒绝域，一旦样本观察值落入拒绝域就拒绝原假设若在原假设成立条件下，样本落入拒绝域的概率不超过事先设定的"，则称该拒绝域所代表的检验为显著水平"的检验，而称口为显著水平由定义可知，所谓显著水平检验就是控制第一类错误概率的检验4•单正态总体参数检验我们以单正态总体均值以检验为例，即假定总体*〜时(角刊⑴列出问题，即明确原假设和备选假设先设/已知，检验%："=九<>丹1：川工耳)其中如已知2) 基于"的估计疋，提出检验统计量2二”晟(X一阳)£满足如下要求：(a) 在円□下，£的分布完全已知，此处2~N(CU)；(b) 由2可诱导出与円背离的准则，此处当送I偏大时与円□背离3) 对给定水平口，构造水平口检验的拒绝域硏={(心…，耳)：IE|>吗中/2)其中％为标准正态分布的◎-分位点⑷基于数据，算出2的观察值远如*丘则拒绝円否则只能接受円因此检验使用统计量2,称之为2-检验当未知时，改检验统计量2为T="'厉(X-他)其中炉为修正样本标准差。
相应的拒绝域为为自由度円T的上分布的口-分位点其他的检验步骤相同5两个正态总体参数的检验设如…，耳是取自正态总体"(宀巧)的样本，兀…是取自正态总体"〔他'怎)的样本，且逅=…,耳，爲，…,兔相互独立记(1)丹Q:戸1=曲貝、:戸1羊氏当b•云已知时，拒绝域为其中当b,云未知，但屍=E时，拒绝域为（2）豆q:5*=另<->H、：占工er孑当再,S已知时，拒绝域为当再,S未知时，拒绝域为>F=（陀—1,挖—1）卜叭=彳（罚，…，耳…:Jc巴.缶一匚n-1）或=~其中为6*芒值和芒值检验法芒值是在原假设成立条件下检验统计量出现给定观察值或者比之更极端值的概率，直观上用以描述抽样结果与理论假设的吻合程度，因而也称去值为拟合优度例如在正态总体参数检验%—肥>码:戸七的情况，检验统计量为『，观察值为「，则囚值为囚二血于岸“凤去值检验法的原则是当去值小到一定程度时拒绝円□，通常约定：当心皿称结果为显著；当^^001，则称结果为高度显著学习要点本章内容涉及概念及方法两大部分，要求理解和掌握假设检验的一些基本概念，如两类错误概率，否定论证原理，显著水平弄清显著水平检验的确切含义，掌握单正态总体检验的基本方法。
习题解答1. 在一个假设检验问题中，当检验最终结果是接受円1时，可能犯什么错误？在一个假设检验问题中，当检验最终结果是拒绝円】时，可能犯什么错误？解(1)犯拒真的错误，即第一类错误；(2)犯采伪的错误，或者说第二类错误2. 某厂生产的化纤纤度服从正态分布^300牢)，测得25根纤维的纤度，其样本均值，试用去值法检验总体均值是否为1.40.口2=后(左T4)=12冥疋_1.书解原假设九"=L40,统计量M4，观察值c=125(1.39-1.4)=-1.25，所以尹值为p=F(jl25(T-1.4)|>*|)=列可>1.25)=2^(2>1.25)«0.20.因此不能拒绝凤，即可以认为^=?40-3. 某印刷厂旧机器每周开工成本服从正态分布N(1002宁)，现安装一台新机器，观测到九周的周开工成本的样本平均—元，假定标准差不变，试用值法检验周开工平均成本是否为100的假设3(75-100)_25_7_3(^-100)亡解毘：—wo,统计量——方—，观察值它故去值为：p=尸站|兰卜|)=2P(Z>3)=0.002故拒绝円口是高度显著，即4.设九-……山小是取自叫他)的一个样本观察值，要检验假设:7/0：jU=0,H］：护H0试给出显著水平©的检验的拒绝域左.解5. 某纤维的强力服从正态分布WW)，原设计的平均强力为6g，现改进工艺后，某天测得100个强力数据，其样本平均为6.35g,总体标准差假定不变，试问改进工艺后，强力是否有显著提高？7_10(^-6)解设原假设円0：^-6，备选假设豆芒注沁,统计量—119,临界值—fS，拒绝域为R={Z>1.645).今计算2值为“心心-一沖11.19因而拒绝刃口，即认为改进工艺后强力有显著提高。
6. 监测站对某条河流的溶解氧(DO)浓度(单位：mg/l)记录了30个数据,并由此算得"252,，已知这条河流每日的DO浓度服从©左、,试在显著水平^=0.05下，检验假设凤：住fHfv27.T_^(X-2.T)1—ar解统计量—应,拒绝域为今勺弋(2?)=A)95〔32)=1矽91.计算上值为：因而不能拒绝円口.7. 从某厂生产的电子元件中随机地抽取了25个作寿命测试，得数据(单位:25=4.9xl05h)：孔,飞,并由此算得无=100,7，已知这种电子元件的使用寿命服从,且出厂标准为沁h以上，试在显著水平^=0.05下，检验该厂生产的电子元件是否符合出厂标准，即检验假设円珀—就.解首先所以修正样本标准差的观察值亠他，统计量的观察值为z=5g-90)=W0=05£100临界值八也X"因Y，不落入拒绝域，不能拒绝捏0.8. 随机地从一批外径为1cm的钢珠中抽取10只，测试其屈服强度(单位:kg)，得数据帀，……，抵，并由此算得无=2200，J=220,在显著水平^=0.05下分别检验：(1)(2)解凤：“=2000〔丹1：“>2000).9♦凤：/=2002〔丹1：貝>2002)⑴拒绝域只H心，其中口=心朋3-1)=1启穷1.T的观察值为所以拒绝肌.⑵拒绝域氏“宀门,其中_=彩2盯=43M00=]0矽“今干的观察值为"-20°2-20°2-'v：因而不能拒绝円J9. 一卷烟厂向化验室送去且丑两种烟草，化验尼古丁的含量是否相同，从且&中各随机抽取质量相同的五例进行化验，测得尼古丁的含量为：川：24，27，26，21，24B:27，28，23，31，26假设尼古丁含量服从正态分布，且川种的方差为5,占种的方差为8,取显著水平^=0.05，问两种烟草的尼古丁含量是否有差异？其中，今计算无=244,解设貝的含量为X，B的含量为F，且Y（出內，检验假设凤：曲=他，闰：曲工冷.拒绝域为：匸—^OS7.5=1•夕&兀口,故?_2<4-27__即认为两种烟草的尼古丁含量没有差异。
71+8/51.612因而不能拒绝円口，10. 某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代种铜合金铸件，现从两种铸件中各抽一个样本进行硬度测试，其结果如下：72.0，69.5，74.0，70.5，71.869.8，70.0，72.0，68.5，73.0，70.0镍合金铸件（盂）：铜合金铸件（尸）：根据以往经验知硬度盂〜旳幻打3），y〜“（血㈡厲，且亦二苛"，试在©=0.的水平上比较镍合金铸件硬度有无显著提高解假设凤：曲壬他，局：內〉他，检验统计量拒绝域为R=乜>^0.95}今％.95=1£們，无=71.灾，歹=70卫，2^0-3661.21因此不能拒绝円即不能认为镍合金铸件的硬度有提高11. 用两种不同方法冶炼的某种金属材料，分别取样测定某种杂质的含量，所得数据如下（单位为万分率）：原方法（X）：26.9,25.7,22.3,26.8,27.2,24.5,22.8,23.0,24.2,26.4,30.5，29.5，25.1新方法（尸）:22.6,22.5,20.6,23.5,24.3,21.9,20.6,23.2,23.4假设这两种方法冶炼时杂质含量均服从正态分布，且方差相同，问这两种方法冶炼时杂质的平均含量有无显著差异？取显著水平为0.05.检验假设为凤：吗二他弘込辛S，检验统计量为144(=)144(=)拒绝域为农，其中匕=鮎.”5（1了+勺-2）=2.0呂&=4573.88丈无$=8701.67今无=25.76,y=22.51,i-i132(=8701.67-8626.51=75.16,=45?弓呂2—4F&O.30=13.5S，弘=4.43725.76-22.51所以r=—=325=3.5592.1064x70.077+0.1110.9133因此拒绝円□,即认为二种方法有显著差异。
12. 随机地挑选20位失眠者分别服用甲、乙二种安眠药，记录他们的睡眠延长时间（单位：h）,算得无=404,巧=0901,歹=4,%=0.004，问：能否认为甲药的疗效显著地高于乙药？假定甲、乙二种安眠药的延长睡眠时间均服从正态分布，且方差相等，取显著水平^=005.解设尤~砥理巧，〜加、,检验假设凤：申1壬旳，H卩內〉岛，拒绝域为R={7>c\X-YX-Y其中T=,=