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1、1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构 x简单立方 / 6 0.52 体心立方 3 / 8 0.68 面心立方 2 / 6 0.74六方密排 2 / 6 0.74 金刚石 3 /16 0.34解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。证明：体心立方格子的基矢可以写为面心立方格子的基矢可以写为根据定义，体心立方晶格的倒格子
2、基矢为同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4 / a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4 a的体心立方晶格的基矢。证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为即为平面的法线根据定义，倒格子基矢为则倒格子原胞的体积为1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足其中 a 为立方边长。解：根据倒格子的特点，倒格子与
3、晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系因此只要先求出倒格，求出其大小即可。因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为 = 2ln 2证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，
4、取一负离子作参考离子，用r表示相邻离子间的距离，于是有根据假设，马德隆常数求和中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号。因子 2 是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面。则马德隆常数为当x =1时，有所以 = 2ln 2根据平衡条件，即稳定结合时 求得 则可以求得每一摩尔氢分子晶体的结合能为计算中没有考虑零点能的量子修正，这是造成理论和实验值之间巨大差别的原因。 是1.5的图 是3.2的图 是3.3的图3.2 讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N 个格波解，当M = m时与一维单原子链的结果一一对应。解：如图所示，质量为M 的原
5、子位于2n 1, 2n +1, 2n + 3 质量为m 的原子位于2n, 2n + 2,2n + . 牛顿运动方程为每个原胞有两个，共有2N 个形式相同的独立方程。形式解为：代回运动方程有这是一个以 A 、B 为未知量的齐次线性方程组，有解的条件是系数行列式为零有两组不同的解：q 的取值范围是：对应于每个 q 值，有两个格波，共计2N 个格波。当M = m时，两组解变为初看似乎仍为双值函数，但是由于原来取布里渊区为为实际区域大小的一半，所以当我们把布里渊区扩展为时，就不必用双值表示了，变为这时当然就没有光学波了3.3 考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻
6、原子间力常数交替为c 和10c 。令两种原子质量相同，且最近邻间距为a / 2。求在k = 0和k = / a处的(k)。大略地画出色散关系。此问题模拟如2 H 这样的双原子分子晶体。解：可以这样考虑这个问题， H2分子组成一维晶体，分子内部的相互作用较强，力常数为10c ，相邻的原子间作用较弱，力常数为c ，第s 个分子中的两个原子的位移分别用表示： 将试探解代入上式 有 是u ， 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为当k = 0时，当k = / a 时 2与k 的关系如下图所示，这是一个双原子(例如2 H )晶体。令3.6 求出一维单原子链的频率分布函数。解：设单原子链长度 L = Na频率分布函数3.7 设三维晶格的光学振动在q = 0附近的长波极限有求证：解：依据现在带入上边结果有3.8 有N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于T 2。解：在德拜近似下式中出现 2N ，是由于二维晶格中每个原子的自由度为2，总自由度为2N 。则 则 3.11 一维复式格子 中 求解：（1）（2）
