2019年全国高中数学联赛卷一试部分一、填空题（本大题共8小题，每题8分，共64分）1.已知正实数满足（9h,则（3）的值为2•若实数集合｛1,2,3,｝的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则的值为3.平面直角坐标系中，是单位向量，向量满足2,且I25|I对任意实数成立，则||的取值范围是4. 设，为椭圆r的长轴顶点，，为r的两个焦点，1|=4,||=23,为r上一点，满足|hI=2，则△的面积为5. 在1,2,3,……，10中随机选出一个数，在T,-2,-3,……,-10中随机选出一个数，则2被3整除的概率为6•对任意闭区间，用表示函数=在上的最大值,若正数满足=2，则的值为[0,][,2]7.如图，正方体-的一个截面经过点，及棱上一点，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则的值为8.将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0）,则产生的不同的8位数的个数为二解答题:本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9（本题分16分）在^中，=,=,=，若是与的等比中项，且是（-）与的等差中项，求的值10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，圆。
与抛物线r：2=4恰有一个公共点，且圆与轴相切于r的焦点，求圆的半径11（本题满分20分）称一个复数数列｛｝为“有趣的”，若I|=1且对任意正整数，均有42]的常数，使得对一切有趣的数列｛｝及任意正整数，均有232019年全国高中数学联赛加试部分0,求最大二、（本题满分40分）设整数，，123•>20192019320175一、（本题满分40分）如图，锐角△△的外接圆分别相交于不同于点123)2019•>2)(20191324的最小值，并确定使=成立的数组（，001（本题满分50分）设为整数，||》2.整数数列，，……满足：，不全为零，且对任意正整数，均有1212•>•>）的个数201921求证：若存在整数，（>>2）使得==,则->||1四、（本题满分50分）设就空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记为这些线段构成的集合•试求最小的正整数，满足条件:若至少有个元素，则一定含有908个二元子集,其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交集为空集.2019年全国高中数学联赛卷一试部分二、填空题（本大题共8小题，每题8分，共64分）1.已知正实数满足（9）8,则（3）的值为9答案：16解：由条件知9故3加—二所以（3）L162•若实数集合{1,2,3,}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则的值为3 答案：3解:假如＞0,则最大最小元素之差不超过{3,},而所有元素之和大于{3,},不符合条件，帮＜0,即为最小元素,3于是3-=6+,解得亍3.平面直角坐标系中，是单位向量，向量满足2,且I25|I对任意实数成立，则||的取值范围是答案：厉,2后]解：不妨设（1,0）,由于2,可设（2,）,则对任意实数，有42|25||5，这等价于4 ）5I|,解得II[1,4],即卩2[1,16]于是II74）^5,2^5]4.设,为椭圆r的长轴顶点，，为r的两个焦点，1I=4,II=2忑,为r上一点，满足ihi=2，则△的面积为答案:1解:不妨设平面直角坐标系中r的标准方程为上上1（0）.根据条件得2=1|=4,厂—bII2V3,22可知=2,=1,且||=2—b2J3,由椭圆的定义知II+I|=2=4,结合||・||=2得|E+|F（Il+I1）2-2||-II=12=|F，所以Z为直角，进而=II-I1=1△5.在1,2,3,……，10中随机选出一个数，在T,-2,-3,……,-10中随机选出一个数，则2被3整除的概率为答案：37100解：数组（，）共有10*10=100种等概率的选法考虑其中2被3整除的选法.若被3整除，则也被3整除，此时，各有3种选法，这样的（，）有3*3=9组，若不被3整除，则2三1（3）,从37而三T（3）,此时有7种选法，有4种选法，这样的（，）有7*4=28组.因此=9+28=37.于是所求的概率为而6.对任意闭区间，用表示函数y=答案：61312在上的最大值,若正数满足=2，则的值为[0,][,2]%1513解:假如0＜〈％,则由正弦函数图象的性质得0＜=1,故=〒，于是存在非负整数，使得2-2百2[0,][,2]2612①，且①中两处〈至少有一处取到等号，5 13513当=0时，得-2青，经检验，=-，百均满足条件.6 126125 13513当＞1时，由于$百，故不存在满足①的•综上，的值为云芮6 126127.如图,正方体的一个截面经过点，及棱上一点，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则的值为答案：V3解:记a为截面所在平面，延长，交于点，则在a上,故直线是a与平面的交线，设与交于点，则四边形为截面.因平面平行于平面，且，，共点，故合条件知棱台-的体积=4为棱台，不妨设正方体棱长为1,则正方体体积为1,结设=，则1,注意到，分别是棱锥-与棱锥-的高，于是1332311朴+1)1—Er化简得32=1，故=0从而8.将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0）,则产生的不同的8位数的个数为_答案：498解:将2,0,1,9,20,19首位不为0的排列的全体记为，易知||=5*5!=600（这里及以下，||表示有限集的元素个数）,将中的2的后一项是0,且1的后一项是9,的排列的全体记为；中2的后一项是0,但1的后一项不是9的排列的全体记为，中2的后一项不是0,但1的后一项是9的排列的全体记为；易知I1=4!,||+||=5!,||+||=4*4!,即||=24,||=96,||=72,由中排列产生的每个8位数,恰对应中的2*2=4个排列（这样的排列中，20可与”2,0”互换，19可与”1,9”互换）.类似地，由或中排列产生的每个8位数,恰对应或中的2个排列，因此满足条件的8位数的个数为I（）|_1-_口一1I|耳_11」一-6001848364984242二解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤9（本题分16分）在^中，=,=,=，若是与的等比中项，且是（-）与的等差中项，求的值解：因是与的等比中项，故存在＞0满足b=q,a，=q2a,①因是（-）与的等差中项，故2=i-）+=i-）+i+）=24分结合正余弦定理，得-将①代入并化简，可知2+4-1=22，即4=2+1,所以………………………………12分4512--2进而10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，圆。
与抛物线r：2=4恰有一个公共点，且圆与轴相切于r的焦点，求圆的半径解：易知r的焦点的坐标为（1,0）.设圆的半径为（＞0）由对称性，不妨设在轴的上方与轴相切于，故的方程为（-1）2+（-r2=2①(y22y5分根据条件，②恰好有一个正数解，该/\（22/值对应与r的唯一公共点，考虑（）一—（0）的最小值由平均值不等式知2，从而（）“15分由②有解可知乂又假如，因（）随连续变化，且-0+及一8时（）可任意大，故②在n2&2』0,及，上均有解与解的唯一性矛盾.20分综上，仅有乂满足条件（此时点3,兰匚是与r的唯一公共点）11（本题满分20分）称一个复数数列｛｝为“有趣的”，若I|=1且对任意正整数，均有21212°,求最大1丄丄的常数，使得对一切有趣的数列｛｝及任意正整数，均有丨］2解：考虑有趣的复数数列｛｝归纳地可知工0（€*）.由条件得这表明不能大于匸综上，所求的为匚20分这表明不能大于匸综上，所求的为匚20分22—4-10,(*)解得一丄|z|因此丁节12这表明不能大于匸综上，所求的为匚20分L(15分这表明不能大于匸综上，所求的为匚20分这表明不能大于匸综上，所求的为匚20分进而有|12*)当m=2s(s€*)时,利用②可得±|zIIIyI当1m=22s-1时21kI2(s€N*2k）时，2'21kI2由①、②可知|z|II13II2s12222121212厂故±|12II2kI212III丄212当m=1时，|T|Iz|111士记L21(*)以上表明…^满足要求I扌22221I2IIf&212I2'2221kI2…………………10分另一方面，当z=1，1;）时，易验证知｛｝为有趣的数列，此时()1&12k21221kI111丁229211丁221(这表明不能大于匸综上，所求的为匚20分2019年全国高中数学联赛卷加试部分说明：1. 评阅卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分2. 如果考生的解答方法和本解答不同只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次一、（本题满分40分）如图，锐角△△的外接圆分别相交于不同于点•>•>P证明：延长到点，使得=，连接由条件可知zp=zP因为=且=，所以=且于是z=z=z，进而=又=，故==于是在等腰△中，由对称性得：二、（本题满分40分）设整数，，，123II=2•>，从而满足1==220192)(2019132432017<<12)2019的最小值，并确定使=成立的数组（，1•>解:由条件知2222212201820192017(1由于1,2及+2于是由①②得另一方面,<•<=99,3）的个数2019）22019（=1,2,...,2016）均为非负整数，故有2016(1）2201620172018i1,2,,2016)10分20分40分10分(2017(99）2201722017992)(201749)27400740020分=・・・==1,219201920+2-11920+2=(=1,2,・・・，49),=992019此时验证知上述所有不等式均取到等号从。