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1、数学模型 -第一次大作业 姓名学号:摘要一方面通过西安市记录信息网找到了西安市往年总人口数的数据，采用从1985年到的数据作为本文解题的重要数据。接着，准备采用指数增长模型（马尔萨斯人口模型），考虑到由于该模型的成果阐明人口将以指数规律无限增长。而事实上，随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越明显。如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增长到一定数量后来，这个增长率就要随着人口的增长而减少，于是也许需要对指数增长模型有关人口净增长率是常数的假设进行修改。因此准备在采用指数增长模型得到成果后，再采用阻滞增长模型（logistic模型）进行预测，该
2、模型是在修改模型中较出名的一种。然后，分别采用了指数增长模型（马尔萨斯人口模型）和阻滞增长模型（logistic模型）对在期间西安市人口数量进行预测。 最后，通过度别对两种模型进行检查，差别不是很突出，两种模型的成果与实际都较吻合。但发现用阻滞增长模型预测所得到的成果没有用指数增长模型预测得到的成果精确。因此最后取两个模型的平均值。1 问题分析本题是一道人口预测问题，规定通过自己查找数据得到西安市往年的人口数据，并通过这些数据预测末的西安市人口数量。一方面，数据的收集与解决。要预测人口数量，则必须懂得所要预测的区域往年的人口数量，至少需要懂得5年以上的数据，并且一定要保证所收集到的数据的精确性
3、，因此搜索数据的途径一定要具有权威性。收集数据时可以广泛的摘取与人口预测有关的数据，然后再根据建立模型的不同进行取舍和解决。然后，模型建立。求解人口预测的模型有诸多种，例如指数增长模型（马尔萨斯人口模型）、阻滞增长模型（logistic模型）、灰色模型等，但是只需选择一到两种具有代表性的模型进行求解即可。本文分别采用指数增长模型（马尔萨斯人口模型）和阻滞增长模型（logistic模型）进行预测。最后，通过比较了两种模型所得成果以得出最后的预测成果。2 模型假设1）假设模型求解过程中所需的数据都为精确的；2）假设模型需要自己假设的自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量合理；3）假设模型需要自己假
4、设的人口增长率合理；4）在预测时间内，不发生大的疫情，战争等引起人口重大变化的事件；5）本文中所指的人数都为总人口，即都为西安市总人口；6）生育模式在预测时间内保持不变。3 符号阐明 人口增长率（常数） 时刻时的人口数（百万） 时刻 t时刻的人口数（百万） 无穷大 自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量（百万） 固有增长率 人口增长率为人口的函数4 模型建立本文中用到的两种模型分别为指数增长模型（马尔萨斯人口模型）和阻滞增长模型（logistic模型），其中指数增长模型是由英国人口学家马尔萨斯（Malthus，17661834）于1798年提出的，该模型是众多人口模型中最基本的模型之一，但是考
5、虑到由于指数增长模型的成果阐明人口将以指数规律无限增长。而事实上，随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越明显。如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增长到一定数量后来，这个增长率就要随着人口的增长而减少，于是也许需要对指数增长模型有关人口净增长率是常数的假设进行修改。本文则又进一步采用了在修改的模型中较出名的阻滞增长模型。4.1指数增长模型（马尔萨斯人口模型）（1）假设：人口增长率是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）（2）建立模型：记时刻时人口数为，时刻的人口数为，由于量大可视为持续、可微函数。届时间段内人口的增量为 于是满足微
6、分方程（3）模型求解：解微分方程，得 （1）4.2阻滞增长模型（logistic模型）（1）假设： （a）人口增长率为人口的函数（减函数），最简朴的可假设， 0(线性函数)，叫做固有增长率。 （b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量为。（2）建立模型：当时，增长率应为0，即，于是，代入，得 将上式代入得（3）模型的求解： 解方程，得 (2)5 模型求解与检查通过对西安市记录信息网上的数据进行分析，记录并制作出如下表所示的1985年到西安市总人口数（还涉及女性人口数以及人口密度）一览表。1985西安市总人口数一览表单位：人年份总人口女性人口数人口密度（人/平方公里）1985553113226
7、839535541986563967327329765651987574458827812135751988585847928368145871989597358828944245981990608890129528796101991615477729813376171992623197830192046241993630914530529966321994639454430917006411995648207931345756451996654872431659686531997662057831666319986682168323197866919996744977326117767668
8、801113328256689694836933603856967025939339506070471657843462628718725007835084747177417263359712273475311263657413745764252737184297565.1 使用指数增长模型（马尔萨斯人口模型）进行人口预测5.11建立模型并预测人口根据5.2所述建立模型并采用1990的西安市人口数据最后通过通过Matlab编程求解，得到人口增长率，预测出西安市人口得到如下表数据并制作条形图西安市人口预测一览表（指数增长模型）年份预测人口数7649100774670078455007945500
9、8046900814950082534008358700西安市预测人口条形图（指数增长模型）通过条形图可以看出西安市的总人口数是呈逐年增长的趋势，从预测数据也易看出西安市的人口在这8年里平均每年增长10万人左右。5.12模型检查将，代入公式（1），求出用指数增长模型预测的1990的人口数，并与真实数据对比求出误差，见下表1990预测人口与实际人口比较年份实际人口数预测人口数误差（%）199060889016088900约等于01991615477761666000.192%1992623197862452000.212%1993630914563249000.249%1994639454464
10、055000.171%1995648207964872000.079%1996654872465700000.324%1997662057866538000.501%1998668216867386000.844%1999674497768246001.180%688011169116000.457%694836969998000.740%702593970890000.897%716578471794000.190%725007872710000.288%74172637363700-0.722%75311267457700-0.974%76425277552800-1.174%从上表可以看
11、出，误差较小，因此1990年的预测人口与实际人口吻合较好，不存在在刚开始时考虑的指数增长模型的缺陷问题。5.2使用阻滞增长模型（logistic模型）进行人口预测5.21 建立模型并预测人口根据5.3所述建立模型并采用1990的西安市人口数据最后通过通过Matlab编程求解，由于运用该模型求解时需给出估计值，（本文经实验给出估计值为，），得到人口增长率，自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量，预测出西安市人口得到如下表数据并制作折线图西安市人口预测一览表（指数增长模型）年份预测人口数75803007659100773730078148007891700796790080434008118100
12、西安市预测人口折线图（阻滞增长模型）通过条形图可以看出西安市的总人口数是呈逐年增长的趋势，从预测数据也易看出西安市的人口在这8年里平均每年增长7万人左右。5.22 模型检查将，代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1990的人口数，并与真实数据对比求出误差，见下表1990预测人口与实际人口比较年份实际人口数预测人口数误差（%）199060889016088900约等于01991615477761738000.309%1992623197862587000.428%1993630914563435000.544%1994639454464281000.524%19956482079651250
13、00.469%1996654872465968000.734%1997662057866808000.909%1998668216867645001.232%1999674497768480001.527%688011169311000.741%694836970138000.941%702593970962001.000%716578471781000.171%725007872596000.131%74172637340600-1.033%75311267421000-1.462%76425277501000-1.851%从上表可以看出，误差较小，因此1990年的预测人口与实际人口吻合较好，但从整体上看用阻滞增长模型预测所得到的成果没有用指数增长模型预测得到的成果精确。5.3 两种模型的对比与结论通过度别对两种模型进行检查，差别不是很突出，两种模型的成果与实际都较吻合。但发现用阻滞增长模型预测所得到的成果没有用指数增长模型预测得到的成果精确。因此最后取两个模型的平均值。如下表西安市人口预测一览表（平均）年份预测人口数（指数）
