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1、概念、措施、题型、易误点及应试技巧总结函 数一映射: AB的概念。在理解映射概念时要注意：中元素必须均有象且唯一；B中元素不一定均有原象，但原象不一定唯一。如：（1）设是集合到的映射，下列说法对的的是A、中每一种元素在中必有象 B、中每一种元素在中必有原象C、中每一种元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合（答：A）；（2）点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点_（答：（2，1）；（3）若，则到的映射有 个，到的映射有 个，到的函数有 个（答：81,64,81）；（4）设集合，映射满足条件“对任意的，是奇数”，这样的映射有_个（答：12）；（5）设是集合A到集合B的映射，若B
2、=1,2，则一定是_（答：或1）.二函数: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一种公共点，但与轴垂线的公共点也许没有，也也许有任意个。如：（1）已知函数，那么集合中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则 （答：2）三同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和相应法则。而值域可由定义域和相应法则唯一拟定，因此当两个函数的定义域和相应法则相似时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相似，值域相似，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为4，1的“天一函数”共有_个（答：9
3、）四求函数定义域的常用措施（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1根据解析式规定如偶次根式的被开方不小于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。如（1）函数的定义域是_(答：)；（2）若函数的定义域为R，则_(答：)；（3）函数的定义域是，则函数的定义域是_(答：)；（4）设函数，若的定义域是R，求实数的取值范畴；若的值域是R，求实数的取值范畴（答：；）2根据实际问题的规定拟定自变量的范畴。3复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相称于当时，求的值域（即的定义域）。如（1）若函数的定义域为，则的定义域为_（
4、答：）；（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为_（答：1,5）五求函数值域（最值）的措施：1配措施二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数的值域（答：4,8）；（2）当时，函数在时获得最大值，则的取值范畴是_（答：）；（3）已知的图象过点（2,1），则的值域为_（答：2, 5）2换元法通过换元把一种较复杂的函数变为简朴易求值域的函数，其函数特性是函数解析式具有根式或三角函数公式模型，如（1）的值域为_（答：
5、）；（2）的值域为_（答：）（3）的值域为_（答：）；（4）的值域为_（答：）；3函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以运用已学过函数的有界性，来拟定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数，的值域（答： 、（0,1）、）；4单调性法运用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求，的值域（答：、）；5数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点在圆上，求及的取值范畴（答：、）；（2）求函数的值域（答：）；（3）求函数及的值域（答：、）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要
6、使两定点在轴的同侧。6鉴别式法对分式函数（分子或分母中有一种是二次）都可通用，但此类题型有时也可以用其他措施进行求解，不必拘泥在鉴别式法上，也可先通过部分分式后，再运用均值不等式：型，可直接用不等式性质，如求的值域（答：）型，先化简，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函数的值域（答：） 型，一般用鉴别式法；如已知函数的定义域为R，值域为0，2，求常数的值（答：）型，可用鉴别式法或均值不等式法，如求的值域（答：）7不等式法运用基本不等式求函数的最值，其题型特性解析式是和式时规定积为定值，解析式是积时规定和为定值，但是有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设成等差数列，成等比数
7、列，则的取值范畴是_.（答：）。8导数法一般合用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。（答：48）提示：（1）求函数的定义域、值域时，你按规定写成集合形式了吗？ （2）函数的最值与值域之间有何关系？六分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几种不同的式子来表达相应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定一方面要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范畴的并集。如（1）设函数，则使得的自变量的取值范畴是_（答：）；（2）已知，则不等式的解集_（答：）七求函数解析式的常用措施：1待定系数法已知所求函数的
8、类型（二次函数的体现形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的体现形式）。如已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。（答：）2代换（配凑）法已知形如的体现式，求的体现式。如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，则函数=_（答：）；（3）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，那么当时，=_（答：）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。3方程的思想已知条件是具有及此外一种函数的等式，可抓住等式的特性对等式的进行赋值，从而得到有关及此外一种函数的方程组。如（1）已知，求的解析式（答
9、：）；（2）已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= _（答：）。八反函数：1存在反函数的条件是对于本来函数值域中的任一种值，均有唯一的值与之相应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数在区间1, 2上存在反函数的充要条件是A、B、C、D、（答：D）2求反函数的环节：反求；互换 、；注明反函数的定义域（本来函数的值域）。注意函数的反函数不是，而是。如设.求的反函数（答：） 3反函数的性质：反函数的定义域是本来函数的值域，反函数的值域是本来函数的定义域。如单调递增函数满足条件= x ，其中 0 ，若的反函数的定义域为 ，则的定义域是_（答：4,
10、7）.函数的图象与其反函数的图象有关直线对称，注意函数的图象与的图象相似。如（1）已知函数的图象过点(1,1),那么的反函数的图象一定通过点_（答：（1,3）；（2）已知函数，若函数与的图象有关直线对称，求的值（答：）； 。如（1）已知函数，则方程的解_（答：1）；（2）设函数f(x)的图象有关点（1,2）对称，且存在反函数，f (4)0，则 （答：2）互为反函数的两个函数具有相似的单调性和奇函数性。如已知是上的增函数，点在它的图象上，是它的反函数，那么不等式的解集为_（答：（2,8）；设的定义域为A，值域为B，则有，但。九函数的奇偶性。1具有奇偶性的函数的定义域的特性：定义域必须有关原点对称
11、！为此拟定函数的奇偶性时，务必先鉴定函数定义域与否有关原点对称。如若函数，为奇函数，其中，则的值是 （答：0）；2拟定函数奇偶性的常用措施（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数的奇偶性_（答：奇函数）。运用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性_.（答：偶函数）图像法：奇函数的图象有关原点对称；偶函数的图象有关轴对称。3函数奇偶性的性质：奇函数在有关原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相似；偶函数在有关原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若为偶函数，则.如若定义在R上的偶函数在上是
12、减函数，且=2，则不等式的解集为_.（答：）若奇函数定义域中具有0，则必有.故是为奇函数的既不充足也不必要条件。如若为奇函数，则实数_（答：1）.定义在有关原点对称区间上的任意一种函数，都可表达到“一种奇函数与一种偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， ，。判断与的奇偶性； 若将函数，表达到一种奇函数和一种偶函数之和，则_（答：为偶函数，为奇函数；）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多种（，定义域是有关原点对称的任意一种数集）.十函数的单调性。1拟定函数的单调性或单调区间的常用措施：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间内，若总有
13、，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。如已知函数在区间上是增函数，则的取值范畴是_(答：）)；在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.如（1）若函数 在区间（，4 上是减函数，那么实数的取值范畴是_(答：）)；（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范畴_（答：）；（3）若函数的值域为R，则实数的取值范畴是_(答：且）)；复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数的单调递增区间是_(答：（1,2）)。2特别提示：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范畴（答
14、：）；二是在多种单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应当用区间表达，不能用集合或不等式表达 3你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范畴）.如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范畴。（答：）十一常用的图象变换1函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的。如设的图像与的图像有关直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为_(答： )2函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的。如（1）若，则函数的最小值为_(答：2)；（2）要得到的图像，只需作有关_轴对称的图像，再向_平移3个单位而得到(答：；右)；（3）函数的图象与轴的交点个数有_个(答：2)3函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的；4函数+的图
