欧拉公式eie= cos0+isin0的证明方法和应用摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式ei0= cos0+ isin0，举例说明欧拉公 式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要 性关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数1. 欧拉公式意义简说在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却 可以相互转换，被ei0= cos0+ isin0这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当0二兀时，有e汛=—1，即e汛+1 = 0， 这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i、e、兀联系在一起，0，1是实数中特 殊的数字， i 是一个很重要的虚数单位， e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉(Euler,1707-1783)的英文开头［5］,兀是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的 比”它们在数学中各自都有发展的方面因此e汛+ 1=0公式充分揭示了数学的统一性、 简洁性和奇异性了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上 有很大帮助。
2. 欧拉公式的证明简述在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方 面的题材，并作出知识的一种综合理解幂级数展开式的证明法引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式ei0= cos0+ isin0，复指数定义法用复指数定义匕-e” +iy = ex(cos y + isin y)，证明欧拉公ei0 = cos0 + isin0 类比法求导法通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造 e ixf (x) = ， f'(x) = 0用lagrange微分中值定理推论［3］，从而证明f (x) = 1,cos x + i sin x使得 eix = cos x + i sin x分离变量积分法假设z = cosx + isin x，求导得dz = iz，通过分离变量得dz = idx,，然后两边取积分dx z得 L z = ix，所以得 e = cos x + i sin x.n3. 欧拉公式的证明方法幂级数展开式的证明方法：3. 1. 1三角函数的“麦克劳林级数”[1] ：3. 1. 2指数函数的“麦克劳林级数”：[1]当用iz代替z时，那么当z =9时，得到幺旧=cos0 + isin0。
( 证完)复指数定义法：对于任何复数 z = x + iy (x, y e R)，有 e = e^+ty = ex(cos y + isin y) [2],当 x=0 时， 另 y =0 ,有 ei0 = cos0 + i sin0 (证完)类比求导法：e ix3.3.1构造函数f (x) = x e R,i为虚数cosx +isin x3.3.2计算导数3.3.3lagrange微分中值定理的推论若函数f (x)在区间I上可导，且f (x)的导数恒等于0, x属于I,则f (x)为I上的 一个常量函数[3]根据这推论，所以有f (x) = c, c为常量，又因为f (0) = 1,所以f (x) = 1, 有 eix = cos x + i sin x.(附件②) (证完)分离变量积分法假设 z = cos x + i sin x, 难么 dz = i cos x - sin x = i(cos x + i sin x) = iz，分离变量得： dxdz = idx,所以两边同时积分得 J ^dz = i f dx , 即 L z =ix+c ,当取 x=0 时, z z nz = cos 0 + i sin 0 = 1 , L z = l 1 = i0 + c = 0 , 所 以 c = 0 , 所 以 L z = ix ,n n neL# = z = cosx + isinx = eix，所以 eix = cosx + isinx。
(证完)4. 欧拉公式在数学中的应用在对一些较难以证明和计算的题上,直接使用欧拉公式很容易就证明了,在高等数 学中很广泛的应用,比如棣莫弗公式的证明,复变函数的求解等公式证明和应用4.1.1 证明棣莫弗(de Moivre)公式[4] cosnx + isinnx = (cos x+i sin x)n ；cos x+i sin x)n 即einx = cosnx+isinnx，所以有 cosnx + isin nx = (cos x+1 sin x)n证明：由欧拉公式e氏=cos x + i sin x可知:4.2.2用欧拉公式和棣弗公式证明[4]：excos a cos(x sin a)=艺 cos na;n!n =0 ；ex©a sin(x sin a) = S sin nan!n=o证明：令z = cos a = i sin a,由欧拉公式可知即 exz = ex(cosa+isin)= «xcosa eixsina = «xcosa (cos(xsin a) + i sin(xsin a))又由于： 比较实部和虚部的到 定义证明和应用4.2.1证明复数 z 的正弦函数和余弦函数eiz — e~iz e：z + e-izsin z = ,cos z = . [2]2i 2i证明：由欧拉公式eix = cos x + i sin x可得,= cos x + i sin xe—ix = cos x — i sin xeix + e—ixcos x =.对于任意的实数 x 成立，这两个公式中的 x 代以任意复数 z eix — e—ix2isin x =后，由ez = ex+iy = ex(cosy + isin y)，右端有意义，而左端尚无意义，因而有:4.2.2 求 sin(1 + 2i)的值［2］：解：此式为复数解正弦函数(附件③)5. 综合总结对于欧拉公式eix = cos x + i sin x，在这里用了四种不同的方法证明其的成立，也举了 几个列子说明了欧拉公式在高等数学中的重要性，在这里，主要是提供给学生一种多方 面学习和看问题的思想，比如在证明欧拉公式的方法中，都还有许多不同的证明方法， 我所列举的这几种方法中，类比求导法是一种很好的证明方法，其的构造思想很巧妙， 对于幂级数的展开证明方法，较容易弄懂，并且在实际的题目中，幂级数的展开用得比 较多。
我在下面所举的两类应用中，都是用到欧拉公式，且欧拉定理在这当中就像桥梁 一样，如果不用到欧拉公式，这类问题也能求，但不是那么容易了通过对欧拉公式的证明和应用的了解，我们对于e汛=-1也就不那么陌生了6. 考文献[1] 数学分析 下册第三版 华东师范大学数学系编 第十四章幂级数 2001[2] 复变函数论 第三版钟玉泉 编第二章 解析函数 2004[3] 数学分析 上册第三版 华东师范大学数学系编 第六章微分中值定理及应用 2001[4] 数学分析 下册华东师大第三版 同步及习题全解 2006[5] 生活与科学文库e的奥秘19917. 附件附件①因为对于实函数dee = aeax，d(cosx±a血x) 一sinx + a cos x a 为常数，所 dx dx以对于复函数有 deix 二 ieix,d空X± i血x)二 i(cosx + isinx)dx dxeix附件②对于构造的函数f (x)= 是有意义的，因为cos x + i sin x| cosx + isinx | = .(COS2x + Sin2x = 1 所以 cosx + isinx 丰 0因此，函数eix f (x)= 是有意义的。
cos x + i sin xeix因为f (x)= 所以cos x + i sin xei0又根据lagrange中值定理可得f (x) = c c为实常数，又因为f (0) = =1则cos0 + isin0eix有 f (x) = 1，所以有 f (x) = = 1，cos x + i sin x所以 e ix = cos x + i sin x 附件③复函中规定：。