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1、圆锥曲线1 .圆锥曲线的两个定义:(1)第二定义中嬖里视r括号二内的限制条件:椭圆中,与两个定点F- F?的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于国E|,当常数等于 内周时,轨迹是线段F】F”当常数小于归区|时,无轨迹;双曲线中,与两定点后,F?的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数为一定要小于|%F,定 义中的“绝对值”与24 |%F,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如az.已知定点不-3.0),八(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A.|p用+ |P6|=4B.|产用+仍用= 6C. |尸局+ |%| = 10D. |P用2+甲引2
2、=2方程 J(x-6)2 + y2 7(x+6)、y2 =8表示的曲线是(2)第二定义中要注意定点和定宜线是相应的焦点和准线,同“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间 的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点Q(2VIo)及抛物线)=二上一动点P(x,y),则y+ PQ的最小值是42 .圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在X轴上时二十二=1 (O/AO) O ::隈(参数方程,其中?为参数), cr tr=Dsin(p2 2焦点
3、在y轴上时二+二=1 (ab0)o方程A/+8y2=C表示椭圆的充要条件是什么? (ABCWO, b-且A, B, C同号,AHB)。如(1)已知方程上二十二=1表示椭圆,则攵的取值范围为一(答: 3 + A 2 k(-3,-l)U(-1,2); (2)若x,),eR,且3产+ 2/=6,则x + y的最大值是, / 的最小值是一(答:62)(2)双曲线:焦点在x轴上:二一二二1,焦点在y轴上:二一二=1 ()。方程Ax?+3/=C表 cr b-cr b-示双曲线的充要条件是什么?(ABCWO,且A, B异号)。如(1)双曲线的离心率等于起,且与椭圆二+二=1有公共焦点,则该双曲线的方程(答:
4、-y2=l):29 44(2)设中心在坐标原点。,焦点与、尼在坐标轴上,离心率e =血的双曲线C过点P(4,-J桁),则C的方程为(答:X2-/=6)(3)抛物线:开口向右时=2px(p0),开口向左时=-2px(p 0),开口向上时/ = 2y( 0),开 口向下时 W =-2/?y(p 0) o3 .圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):(1)椭圆:由X 2,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 +- = 1表示焦点在y|/?|-1 2-m轴上的椭圆,则m的取值范围是_ (答:(s,l)U。)2(2)双曲线:由X 2, ),2项系数的正负决定,焦点在系数为正
5、的坐标轴上:(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F1, 小的位置,是椭圆、双曲线的定位 条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数4,。,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、 双曲线的定形条件:在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向:(2)在椭圆中,。最大,,在双曲线中,c最大,c2 =a2+b2.4.圆锥曲线的几何性质:22(1)桶圆(以二 十 二=1(/?0)为例):cr b-范围:焦点:两个焦点(土c,0):对称性:两条对称轴x = O,y = 0 , 一个对称中2心(0,0)
6、,四个顶点(4,0),(0,),其中长轴长为2。,短轴长为2人;准线:两条准线x = :离心率:e = J, ca椭圆OOvevl, e越小,椭圆越圆:e越大,椭圆越扁,如(1)若椭圆二十二=1的离心率 =业,则?的值是_(答:3或4 ): 5 m53(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为_(答:2及)(2)双曲线(以一1 = 1 (。0* 。)为例):范惘:或eR:焦点:两个焦点(土c,0): a2 b2对称性:两条对称轴x = 0,y=0, 一个对称中心(0,0),两个顶点(土0),其中实轴长为2。,虚轴长为2人,特2别地,当实轴和虚轴的长相等
7、时,称为等轴双曲线,其方程可设为/一),2=%,%。();准线:两条准线工=4; C离心率:e = ,,双曲线Oel,笠轴双曲线。e =虚,。越小,开口越小,e越大,开口越大:两条渐近线: ay = + -xo如(1)双曲线的渐近线方程是3%2、= 0,则该双曲线的离心率等于(答:匹或正):(2)双a23122曲线以2-2 = 1的离心率为#,则a:人 (答:4或L): (3)设双曲线二一二=1 (a0,b0)中,离4cr b-心率e JI, 2,则两条渐近线夹角0的取值范围是 (答:二):3 2(3)抛物线(以/=2/八,(0)为例):范围:x0,yeR,焦点:一个焦点(已,0),其中的几何
8、意义 2是:焦点到准线的距离;对称性:一条对称轴),= 0,没有对称中心,只有一个顶点(0O):准线:一条准线工=一告:离心率:e = :,抛物线06 = 1。如设 HO/eR,则抛物线),= 4ad的焦点坐标为 (答:(o,_L): a16。22225、点。(4,月)和椭圆二+二=1(6/70)的关系:(1)点P(x,),o)在椭圆外3 +工1; (2)点 cr 1厂cr b-2222P(Xo,No)在椭圆上 U+3=1;(3)点 PC%,)在椭圆内 + 2()直线与椭圆相交:()=直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有(),当直 线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交
9、点,故()是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必 要条件:() =直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有A。,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线 与抛物线相交且只有一个交点,故A0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。如(1)若直线y=kx+2与双曲线f一歹二6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是(答:(-,-1):322(2)直线y-kxl=O与椭圆工+1 = 1恒有公共点,则m的取值范围是(答:1, 5) U (5, +8):5 m(3)过双曲线7-彳=1的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若|AB| =4,则这样的直线有 条(答:高考专题圆锥曲线(2)相切: = ()
10、直线与椭圆相切;AnOO直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;(3)相离:AvO。直线与椭圆相离;AvOO直线与双曲线相离;AvOO直线与抛物线相离。特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行 时,直线与双曲线相交,但只有一个交点:如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;22(2)过双曲线二-工=1外一点P(x0,),o)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:P点在两条渐近线之间且 cr 1厂不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;P点在两条渐 近线之间
11、且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;P在 两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线:P为原点时不存在这样的直线:(答:卜$竽卜(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。如 (1)过点(2,4)作直线与抛物线产=81只有一个公共点,这样的直线有 (答:2);(2)过点(0,2)与双曲线二-二二1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范用为 9 16(3)过双曲线/-鼻 = 1的右焦点作直线/交双曲线于A、B两点,若从w=4,则满足条件的直线/有 条(答:3):(4)对于抛物线C: y2 =4x,我们称满足*20)右支上一点,F|、F?是左右焦点,若丽福 =0, IPF|I=6,则该双曲线 的方程为(答:x2 y2 = 4 );x2 y2(3)椭圆工+ 丁 = 1的焦点为R、F2,点P为椭圆上的动点,当()时,点P的横坐标的取值范围是94(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=,