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1、圆锥曲线1 .圆锥曲线的两个定义：（1）第二定义中嬖里视r括号二内的限制条件：椭圆中，与两个定点F- F?的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于国E|,当常数等于 内周时,轨迹是线段F】F”当常数小于归区|时，无轨迹；双曲线中，与两定点后，F?的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数为一定要小于|%F,定 义中的“绝对值”与24 |%F,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如az.已知定点不-3.0）,八（3,0），在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A.|p用+ |P6|=4B.|产用+仍用= 6C. |尸局+ |%| = 10D. |P用2+甲引2
2、=2方程 J（x-6）2 + y2 7（x+6）、y2 =8表示的曲线是（2）第二定义中要注意定点和定宜线是相应的焦点和准线，同“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间 的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点Q（2VIo）及抛物线）=二上一动点P（x,y）,则y+ PQ的最小值是42 .圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）:（1）椭圆：焦点在X轴上时二十二=1 （O/AO） O ：:隈（参数方程，其中?为参数）， cr tr=Dsin（p2 2焦点
3、在y轴上时二+二=1 （ab0）o方程A/+8y2=C表示椭圆的充要条件是什么？ （ABCWO, b-且A, B, C同号，AHB）。如（1）已知方程上二十二=1表示椭圆，则攵的取值范围为一（答： 3 + A 2 k（-3,-l）U（-1,2）； （2）若x,），eR,且3产+ 2/=6,则x + y的最大值是, / 的最小值是一（答：62）（2）双曲线：焦点在x轴上：二一二二1,焦点在y轴上：二一二=1 （）。方程Ax?+3/=C表 cr b-cr b-示双曲线的充要条件是什么？（ABCWO,且A, B异号）。如（1）双曲线的离心率等于起，且与椭圆二+二=1有公共焦点，则该双曲线的方程（答：
4、-y2=l）：29 44（2）设中心在坐标原点。，焦点与、尼在坐标轴上，离心率e =血的双曲线C过点P（4,-J桁），则C的方程为（答：X2-/=6）（3）抛物线：开口向右时=2px（p0）,开口向左时=-2px（p 0）,开口向上时/ = 2y（ 0）,开 口向下时 W =-2/?y（p 0） o3 .圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由X 2,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 +- = 1表示焦点在y|/?|-1 2-m轴上的椭圆，则m的取值范围是_ （答：（s,l）U。）2（2）双曲线：由X 2, ）,2项系数的正负决定，焦点在系数为正
5、的坐标轴上：（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1, 小的位置，是椭圆、双曲线的定位 条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数4,。，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、 双曲线的定形条件：在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向：（2）在椭圆中，。最大，,在双曲线中，c最大，c2 =a2+b2.4.圆锥曲线的几何性质：22（1）桶圆（以二 十 二=1（/?0）为例）：cr b-范围：焦点：两个焦点（土c,0）：对称性：两条对称轴x = O,y = 0 , 一个对称中2心（0,0）
6、,四个顶点（4,0）,（0,），其中长轴长为2。，短轴长为2人；准线：两条准线x = ：离心率：e = J, ca椭圆OOvevl, e越小，椭圆越圆：e越大，椭圆越扁,如（1）若椭圆二十二=1的离心率 =业，则?的值是_（答：3或4 ）： 5 m53（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_（答：2及）（2）双曲线（以一1 = 1 （。0* 。）为例）：范惘：或eR：焦点：两个焦点（土c,0）： a2 b2对称性：两条对称轴x = 0,y=0, 一个对称中心（0,0）,两个顶点（土0）,其中实轴长为2。，虚轴长为2人，特2别地，当实轴和虚轴的长相等
7、时，称为等轴双曲线，其方程可设为/一），2=%,%。（）；准线：两条准线工=4； C离心率：e = ,，双曲线Oel,笠轴双曲线。e =虚，。越小，开口越小，e越大，开口越大：两条渐近线: ay = + -xo如（1）双曲线的渐近线方程是3%2、= 0,则该双曲线的离心率等于（答：匹或正）：（2）双a23122曲线以2-2 = 1的离心率为#,则a：人 （答：4或L）： （3）设双曲线二一二=1 （a0,b0）中，离4cr b-心率e JI, 2,则两条渐近线夹角0的取值范围是 （答：二）：3 2（3）抛物线（以/=2/八，（0）为例）：范围：x0,yeR,焦点：一个焦点（已,0）,其中的几何
8、意义 2是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴），= 0,没有对称中心，只有一个顶点（0O）：准线：一条准线工=一告：离心率：e = ：,抛物线06 = 1。如设 HO/eR,则抛物线），= 4ad的焦点坐标为 （答：（o,_L）： a16。22225、点。（4,月）和椭圆二+二=1（6/70）的关系：（1）点P（x,），o）在椭圆外3 +工1； （2）点 cr 1厂cr b-2222P（Xo，No）在椭圆上 U+3=1；（3）点 PC%,）在椭圆内 + 2（）直线与椭圆相交：（）=直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有（）,当直 线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交
9、点，故（）是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必 要条件：（） =直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有A。，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线 与抛物线相交且只有一个交点，故A0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线y=kx+2与双曲线f一歹二6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（答：（-,-1）：322（2）直线y-kxl=O与椭圆工+1 = 1恒有公共点，则m的取值范围是（答：1, 5） U （5, +8）：5 m（3）过双曲线7-彳=1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若|AB| =4,则这样的直线有 条（答：高考专题圆锥曲线(2)相切： = ()
10、直线与椭圆相切；AnOO直线与双曲线相切；直线与抛物线相切;(3)相离：AvO。直线与椭圆相离；AvOO直线与双曲线相离；AvOO直线与抛物线相离。特别提醒：(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行 时，直线与双曲线相交，但只有一个交点：如果直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；22(2)过双曲线二-工=1外一点P(x0,)，o)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且 cr 1厂不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐 近线之间
11、且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在 两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线：P为原点时不存在这样的直线:(答:卜$竽卜(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如 (1)过点(2,4)作直线与抛物线产=81只有一个公共点，这样的直线有 (答：2)；(2)过点(0,2)与双曲线二-二二1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范用为 9 16(3)过双曲线/-鼻 = 1的右焦点作直线/交双曲线于A、B两点，若从w=4,则满足条件的直线/有 条(答：3)：(4)对于抛物线C： y2 =4x,我们称满足*20)右支上一点，F|、F?是左右焦点，若丽福 =0, IPF|I=6,则该双曲线 的方程为(答：x2 y2 = 4 );x2 y2(3)椭圆工+ 丁 = 1的焦点为R、F2,点P为椭圆上的动点，当()时，点P的横坐标的取值范围是94(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=,
