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1、第4讲函数、导数与不等式1(2019贵州省适应性考试)已知函数f(x)xln x，g(x)aex.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a时，xf(x)g(x)解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)由f(x)xln x，得f(x)1，当x(0，1)时，f(x)0.所以f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，)(2)证明：要证xf(x)g(x)，即证x(xln x)aex，即证a.设h(x)，则h(x).由(1)可知f(x)f(1)1，即ln x(x1)0，于是，当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(1，)时，h(x)0)，f(x)3x21.因为3x23
2、x20恒成立，所以当x(1，)时，f(x)0，yf(x)单调递增；当x(0，1)时，f(x)0，yf(x)单调递减故f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0，1)(2)因为f(x)x3ax2ln x0在(0，)上恒成立，所以当x(0，)时，g(x)x2a0恒成立g(x)2x22，令h(x)x3ln x1，则h(x)在(0，)上单调递增，且h(1)0，所以当x(0，1)时，h(x)0，g(x)0，g(x)0，即yg(x)单调递增所以g(x)ming(1)1a0，a1，故实数a的取值范围为1，)3已知函数f(x)ax2xln x.(1)若函数f(x)在(0，)上单调递增，求a的取值范围
3、；(2)若ae，证明：当x0时，f(x)0时，f(x)0，即2a恒成立令g(x)(x0)，则g(x)，易知g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则g(x)maxg(1)1，所以2a1，即a.故a的取值范围是，)(2)证明：若ae，要证f(x)xex，只需证exln xex，即exex0)，则h(x)，易知h(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，则h(x)minh()0，所以ln x0.再令(x)exex，则(x)eex，易知(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以eex0.因为h(x)与(x)不同时为0，所以exex0在x(0，
4、)上恒成立，此时(0，)为f(x)的单调递增区间当a1时，令f(x)0，得xln a(0，)，故x(0，ln a)时，f(x)0，即(ln a，)为f(x)的单调递增区间(2)设h(x)(x1)exa(x24x)，x(0，)，则h(x)(x2)(ex2a)，当a时，h(x)0在(0，)上恒成立，即h(x)为增函数，故h(x)h(0)10，即a符合题意当a时，令h(x)0，得xln(2a)(0，)，可得x(0，ln(2a)时，h(x)0，则h(x)为增函数故h(x)minh(ln(2a)0，即得ln(2a)22ln(2a)20，解得0ln(2a)1，即e1a符合题意综上，a的取值范围为e1，)- 4 -
