小学数学牛吃草问题综合

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1、小学数学牛吃草问题吃草问题是小学奥数五年级的内容， 学过的同学都知道这是一类比较复杂的应用题，还有一些相应的变形题：排队买票、大坝泄洪、抽水机抽水等等。那么在这里讲下牛吃草问题的解题思路和解题方法、技巧供大家学习。一、解决此类问题，孩子必须弄个清楚几个不变量 ： 1 、草的增长速度不变 2、草场原有草的量不变 。草的总量由两部分组成，分别为：牧场原有草和新长出来的草。新长出来草的数量随着天数在变而变。因此孩子要弄清楚三个量的关系：第一：草的均匀变化速度（是均匀生长还是均匀减少）第二：求出原有草量第三：题意让我们求什么（时间、牛头数）。注意问题的变形：如果题目为抽水机问题的话，会让求需要多少台抽

2、水机二、解题基本思路1、先求出草的均匀变化速度，再求原有草量。2、在求出“每天新增长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量+每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。3、已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。4、根据（“原有草量”+若干天里新生草量）+天数”，求出只数三、解题基本公式解决牛吃草问题常用到的四个基本公式分别为：1、草的生长速度=对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数+ (吃的较多天数一吃的较少天数)2、原有草量=牛头数X吃的天数草的生长速度X吃的天数3、吃的天数=原有草量+ (牛头数草的生长速度)4

3、、牛头数=原有草量+吃的天数+草的生长速度四、下面举个例子例题：有一牧场，已知养牛 27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。一般方法：先假设1头牛1天所吃的牧草为1,那么就有：(1) 27头牛6天所吃的牧草为：27X6= 162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。)(2) 23头牛9天所吃的牧草为：23X9= 207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。)(3) 1 天新长的草为：(207162) + ( 9 6) = 15(4)牧场上原有的草为：27X615X6= 72(5)每天新长的草足够15头

4、牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72+ ( 21 15) =72+6= 12 (天)所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽 公式解法:(1)草的生长速度=(207162) + ( 96) = 15(2)牧场上原有草=(27 15) X6=72再把题目中的21头牛分成两部分，一部分15头牛去吃新长的草(因为 新长的草每天长15份，刚好可供15头牛吃，剩下(21-15=6)头牛吃 原有草：72+ (21 15) =72+6= 12 (天)所以养21头牛，12天才 能把牧场上的草吃完。方程解答：设草的生长速度为每天x份，利用牧场上的原有草是不变的列方程，则有27X6-6x =23

5、 X9-9x解出x=15份再设21头牛，需要x天吃完，同样是根据原有草不变的量来列方程：27X6-6X 15 =23 X9 -9X 15= (21-15) x解出x=12 (天)所以养21头牛。12天可以吃完所有的草。牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度.牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.下面给出几例牛吃草及其相关问题.1.草场有一片均匀生长的草地，可供 27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？（这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”.）【分析与解】27头牛吃6周相当于27X6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上

6、6周新长的草；23 头牛吃9周相当于23X9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了 207-162=45头牛，多吃了 9-6=3周新长的草.所以45+3 =15头牛1周可以吃 1周新长出的草.即相当于给出15头牛专门吃新长出的草.于是 27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是 21-15=6头牛来吃原来的草；所以需要12X6+6=12（周），于是21头牛需吃12周.评注：我们求出单位“ 1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程 问题了.一般方法：先求出变化的草相当于多少头牛来吃：（甲牛头数X时间甲-乙牛头数X时

7、间乙）+（时间甲-时间乙）；再进行如下运算：（甲牛头数-变化草相当头数）X时问甲+ （丙牛头数-变化草相当头数尸时间丙.或者：（甲牛头数-变化草相当头数）*时间甲+时间丙 +变化草相当头数丙所需的头数.2 .有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷.草地上的草一样厚而且长得一样快.第一块草地可供 24头牛吃6周，第二块草地可供 36头牛吃12周.问：第三块草地 可供50头牛吃几周？【分析与解】我们知道 24X6=144头牛吃一周吃 2个（2公顷+2公顷周长的草）.36X 12=432头牛吃一周吃 4个（2公顷+2公顷12周长的草）.于是144+2=72头牛吃一 周吃2公顷+2公顷6周长的

8、草.432+4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草.所 以108-72=36头牛一周吃2公顷126=6周长的草.即36+6=d头牛1周吃2公顷1周长的对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好.于是 4公顷，配4 + 2X6 =12头牛专吃新 长的草，即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃6X1 + （4+2）=36周吃完2公 顷.所以10公顷，需要10+2X6=30头牛专吃新长的草，乘I下 50-30=20头牛来吃10公顷 草，要 36 X （10+2）+20 =9 周.于是50头牛需要9周吃10公顷的草.3.如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已

9、知草在各处都是 同样速度均匀生长.牧民带着一群牛先在号草地上吃草，两天之后把号草地的草吃 光.（在这2天内其他草地的草正常生长 ）之后他让一半牛在号草地吃草，一半牛在号草i*nnp|地吃草，6天后又将两个草地的草吃光.然后牧民把1的牛放在阴影部分的草地中吃草，另3外号的牛放在号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完.那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？【分析与解】 一群牛，2天，吃了 1块+ 1块2天新长的；一群牛，6天，吃了 2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了 1块+1块8天新长的.即1群牛，1天，吃了 1块1天新长的.61， 、，一，一 2，一 ，

10、一 .又因为，1的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外上的牛放在号草地吃草，它们同时33吃完.所以，19193二2阴影部分面积.于是，整个为4 - 块地.那么需要- 群牛吃新长的草,.一193193于是(1 -)29二现在(13).所以需要吃：(1-) 2 9(1-) =30天.624624所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天.45天吃完，于是马、羊吃需要4 .现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要 90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间 ？【分析与解】我们注意到:牛、马45天吃了马、羊60天吃了牛、羊90天吃了原

11、有+45天新长的草2原有+60天新长的草原有+90天新长的草牛、马90天吃了原有+90天新长的草马 90 天吃了 原有+90天新长的草所以，由、知，牛吃了 90天，吃了原有的草；再结合知，羊吃了 90天，吃了 90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草.所以，知马60天吃完原有的草，知牛 90天吃完原有的草.现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草11所帝时间为l + ( ) =36天.90 60所以，牛、羊、马一起吃，需 36天.15.有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快.它们的面积分别是31公顷、310公顷和24公顷.已知12头牛4星期吃完第一片牧

12、场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛 18星期才能吃完第三片牧场的草 ？【分析与解】由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形.所以表1中，3.6-0.9=2.7 头牛吃4星期吃完l公顷原有的草，那么 18星期吃完1公 顷原有的草需要 2.7-（18-4）= 0.6头牛，加上专门吃新长草的Q 9头牛，共需0.6+0.9=1.5头牛，18星期才能吃完1公顷牧场的草.所以需1.5 X24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草.一个牧场长满青草，牛在吃草而草又不断匀速生长，27头牛6天可以把牧场上的草全部吃完；23头牛吃完牧场全部的草则要9天，若2

13、1头牛来吃，几天吃完？最佳答案这种问题叫：牛顿问题完整解题思路：假设每头牛每天的吃草量为1,则27头6天的吃草量为27X 6=162; 23头牛9天的吃草量为 23X 9=207。207与162的差就是（9-6）天 新长出的草，所以牧场每天新长出的草量是（207-162） + （ 9-6） =15因为27头牛6天吃草量为162,这6天新长出的草之和为 15X6=90,从而可知牧场原有的划量为162-90=72牧场每天新长的草够 15头牛吃一天，每天都让21头牛中的15头牛吃新长出的草，其余的21-15=6 （头）专吃原来的草。所以牧场上的草够吃72+6=12 （天），也就是这个牧场上的草够21

14、头牛吃12天。综合算式：27X 6- (23X9-27X 6) + (9-6) X 6+21- (23X 9-27X6) + (9-6) =12 (天)牛吃草问题是小学奥数的一类难题，记得在某本书上看到过：“牛吃草问题就是追及问题，牛 吃草问题就是工程问题。”对于前半句很好理解，给孩子讲的时候，也是按追及问题的思路 来讲的。而对于后半句，直到上周才算明白。这个问题是在仁华学校课本六年级下册第六讲最大与最小问题中出现的。现暂且把这 个题放下，看看以前我是如何讲牛吃草问题的。例 1 小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 12 头牛吃 15 天。

15、如果小军家养了 24 头牛，可以吃几天？草速：(10X20 12X 15) + ( 20 15) =4老草(路程差)：根据：路程差=速度差X追及时间（104） X 20=120 或 （12 4） X 15=120追及时间= 路程差+速度差:120+ （ 24 4） =6 （天）例 2 一个牧场可供 58 头牛吃 7 天， 或者可供 50 头牛吃 9 天。 假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃 6 天？草速：(50X 958X 7) + ( 97) =22老草(路程差)：(5022) X 9=252 或(5822) X 7=252求几头牛就是求牛速，牛速=路程差+追及时间+草速252+ 6+22=64（头）现在回头看看仁华学校课本那道题吧例 3 一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开 4 个进水管时需要5 小