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1、讲授内容 11. 1对坐标的曲线积分的概念11. 2对坐标的曲线积分的计算教学目的与要求:】、理解对坐标的曲线积分的概念.2、掌握对坐标的曲线积分的性质.3、熟练掌握对坐标的曲线积分的计算方法.教学重难点:重点一第二类曲线积分的计算方法.难点一第二类曲线积分的反向变号性质.下限对应有向曲线的起点，上限对应终点.教学方法：讲练结合教学法教学建议：1、建议对变力作功问题作仔细讲解，从而深化学生对第二类曲线积分概念的理解.2、通过大量针对性的例题讲解及练习，使学生熟练掌握其计算.学时：2学时一、 教学过程二、 对坐标的曲线积分的概念1.引例：求变力沿有向曲线所作的功设在xOy面上有一质点从点A沿光滑
2、曲线弧L移动到点B,在移动过 程中，质点受到变力F (x, y)=P (x, y) i+Q (x, y) j的作用.其中P (x, y), Q (x, y) 在L上连续.求变力F(x, y)作的功.将L用其上的点A=MoU, %), % (%,内，,M(i *), M式.内二B 划分为段.在第f个有向小弧段乩-皿任取一点(I,k)，由于有向小弧段乩-M光滑且很短，故可用有向线段M-M尸(A X)l+(A y,) j.代替它，其中卜xmxxi匕二必一87,因此变力F(x, y)沿有向小弧段此一M所作的功可看作常力FG ；,k)沿有 向线段M； M=(A向1+(向j所作的功,即：名“F ( I,
3、n 2)( i, n。 乂+Q ( /, n ) 匕.以X表示A个小弧段的最大长度，则变力F(x,v)沿有向曲线L所作的功 为：W二lim Z A WFlim g P( Q x) x：+Q( i, Q i) A Yx力TO .2To .,r-1r】2.对坐标的曲线积分的定义定义：设L为xOy面上点从A沿点B的一条光滑有向曲线弧，函数P （禺y）, Q（%y）在L上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列A=Mo （加，必）,Mi （xi,M），Mh-i （照7, %-i）, M式兄,外）=B将L划分为2个有向小弧段乩M3=1, 2,由，在第个有向小弧段M.M上任取一点（，nJ,设卜xmxL Xi7
4、, AyL% 一力-1,以A表示A个小弧段的最大长度,若极限lim Y P（i, nJ AXi 存 5台在，则称此极限为函数P（x,y）在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作:f P(x, y)dx.J同理,若极限i, nJ Ayi存在，则称此极限为函数Q (-Y,力在有向曲线L上对坐标y的曲线积分,记作： Q(x, y) dy.即： P(x,y)dx=tai P( njAx /-I Q(x，y)d尸剧2 Q(L, nJ 力其中,P(x,y),Q(x,y)为被积函数；L为积分曲线.上述两个积分称为笫二类的曲线积分.在应用上常将上述两个积分合起来写成: P (x, y) dx+ J Q (x,
5、y) dy= j P (x, y) dx+Q (x, y) dy.写成向量形式为:P (x, y) dx+ j Q (x, y) dy= j F(x, y) dr其中 F(x, y) =P (x, y) f+Q (x, y) j;d尸dxRdyj，同理，当r为空间有向曲线，函数P(x, % z), Q(x, % 2), R(X, y, Z)在 r上有界，则定义:P(x, y, z) dx= lim V2。占P(G,n i9 C J n XiQ(x, y, z)dy=lim Y3金Q(L,R(x, y, z) dz=lini V 八。占R(L,Qi, C J z.合起来即为: P(x, y, z
6、)dx+ Q(x, y, z)dy+ R(x, y, z)dz= P(x, y, z) dx+Q (x, yz) dy+R (x, y, z) dz3.对坐标的曲线积分的性质:1) j / Pdx+Qdy= j Pdx+Qdy+j Pdx+Qdy2) L P(x, y)dx=-j P(x, y) dx； JQ(x, y)dy=-j Q(x, y) dy；或者 L P(x, y)dx+Q(x, y)dy=-J/ P(x, y) dx+Q(x, y) dy：这里-L为L的负方向.注：对坐标的曲线积分与方向有关，故必须注意积分方向.三、对坐标的曲线积分的计算方法定理：设函数P(x,)，).Q(x,y
7、)在有向曲线弧L上连续,L的参数方程为：.v=9(r)0，=必。，当参数t单调地从a变到p时，点M(x,y)从L的起点A运动到终点BQ) 和必。在以a及为端点的闭区间上具有一阶连续的导数，且q2(t)+“2(t)W0.则有： P(x,y)dx+Q(x,y)dy=j Pp(t)，w(t)(p(t)+QPW(t)W(t)dt.证明：在L上任取点列：A=Mo,M|,M1TMi=B,它们对应一列单调变化的参数值:gfohvS=B，ft由于 J P(x,y)dx= lim Z P(&，n；)Ax,.j-i设点(&,印)对应的参数值为即：&二。(亏)，尸孤片)，其中：6-i -Tr又由于A%=Xi-Xij
8、=p(t)-(p(如)枳分中值定理 eCQAti这里:射-1-日-力.于是:f P(x,y)dx= lim 汇 Pp(Ti)MTi)W(VMti, J L2i-l由d（t）在“（或取a）上连续（从而一致连续），可将d换为也即有: P（x，y）dx=期金 PP（G）由于P(t)w(t)W(t)dt两式相加即有：(P(x,y)dx+Q(x,y)dy= Pcp(t)w(t)(p(t)+Q(pw(t)Udt注1) 下限a对应于起点A,上限对应于终点B.2)对坐标的曲线积分的基本思想也是将其转化为对参变量的定积分.几种特殊情形：1)曲线L的方程为：户孤r),则J P(x,y)dx+Q(x,y)dy=(
9、Px，v(x)+Qx，v(x)v/(x) dx 下限”对应于起点A,上限b对应于终点B.2)设曲线L的方程为：.r=8(y),则(P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P 即(y),y+Q 即(y),y(p(y) dy 下限c对应于起点A.上限d对应于终点B.3)当为空间曲线时,设其参数方程为：户0，户必，乂=3。)则：P(x,y)dx+Q(x,y)dy+R(x,y,z)dz= Pp(t)w(t),3(t)(p(t)+Q睁崛l)+Rp(t),“(t),s(t)W(t) dt下限a对应于起点A,上限B对应于终点B.例1计算：f其中L为：1)半径为“，圆心为原点，按逆时针方向绕行的上半圆周；2)从点
10、A30)到点阳”0)的直线段.解 1) L 的参数方程为：x=t/cos,y=t/sin8(O0“4+）为/=1, 它在xOy而上的投影为：/+2尸=1,从而其参数形式为:x=cosa），=z= sina 且 6 从。变至ij 2兀, 2=-1 cos: Jsii/仅/6 = 士n4 J。16例4设有一质点在M（x,y）处受到力F的作用.力F的大小与点M到原点的距离22成正比，力F的方向指向原点,此质点由点AQ0）沿椭圆二+二=1按逆时针方向 4-b-移动到点B（0力），求力F所作的功.分析：根据对坐标曲线积分的物理意义，变力沿曲线L作功即为在L上的对坐标的曲线积分.解 由于 OM=a7+v，
11、 IOMI= yx2+y2，从而 F=-k（.x7+v）（k0 为比例系数）.所以 F 所作的功为：W= f -kxdx-kydv=- f kxdx+kydvJ”J”由于弧AB的参数方程为：x=t/cos夕,y=/）sin ，其中6=0对应起点A.公兀/2对应终点B,从而:W二攵J； a cosd sin O) + bsinO (bcosO)l0厅=k(a2-b2) cos。sin OclO =k(a2-b2)/2例 5 计算：I = f其中 L 是以点 A(10).B(O,1),C(1,0)和 D(O-l)jLx + y为顶点的正方形的正向周界.解（方法一）由于L： kl+lyl=l,在BC
12、和DA上，有x+y=0：从而有 d（x+y）=0.所以：1= dx + dy = 0（方法二）因为：r clx + dyL 1 + 1,-=dx =-2Jlxl + lyl J。-x + ( + x) dx + dy f0 1-17 A-=Jx=0：Ixl + lyl J-x + (-l-x)rJ】 dx=?lxl + ly I Jox-(x-l)所以，I=0.注：将积分曲线的方程直接代入被积表达式有时可使被积函数化简，使计算简便.作业：P2013( 1 )(3)(4)(5)P2024(3)(4)(5)教学后记：复习思考题：计算: xyzdz，其中L是用平而y=z截球面x2 + y2 + z2 = l所得的截痕，从z轴的正 向看沿逆时针方向.讲授内容 11.3曲线积分与路径无关的条件教学目的与要求：1、掌握格林公式；2、掌握平而上的曲线积分与路径无关的条件；3、掌握二元函数的全微分求积教学重难点：重点一通过本节的教学，使学生掌握格林公式，并能应用格林公式计算第二类 曲线积分，掌握平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数的全微 分的原函
