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1、第二章 2.3 双曲线双曲线标准方程（焦点在轴）标准方程（焦点在轴）定义第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。PP第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。PPPP范围，对称轴轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为对称中心原点焦点坐标 焦点在实轴上，；焦距：顶点坐标（,0） (,0)(0, ,) (0，)离心率1)=准线方程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：顶点到准线的距离顶点（）到准线（
2、）的距离为顶点（）到准线（）的距离为焦点到准线的距离焦点（）到准线（）的距离为焦点（）到准线（）的距离为渐近线方程 共渐近线的双曲线系方程（）（）1. 双曲线的定义 当|MF1|MF2|=2a时，则表达点在双曲线右支上； 当时，则表达点在双曲线左支上； 注意定义中的“（小于）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a=2时，即,当，动点轨迹是认为端点向右延伸的一条射线；当时，动点轨迹是认为端点向左延伸的一条射线；若2a2时，动点轨迹不存在.2. 双曲线的标准方程判别方法是：假如项的系数是正数，则焦点在x轴上；假如项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b
3、，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.3. 双曲线的内外部 (1)点在双曲线的内部. (2)点在双曲线的外部.4. 形如的方程可化为当，双曲线的焦点在轴上；当，双曲线的焦点在轴上；5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题： 对的判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.6. 离心率与渐近线之间的关系1） 2） 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.(4)与双曲线共渐近线的双曲线系方程是(5)与双曲线共焦点的双曲线系方程
4、是(6)当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；8. 双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.9. 直线与双曲线的位置关系直线： 双曲线C：（0，0） 1) 当，即时，直线与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；2) 当b2-a2k20，即时，=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2) 时，直线与双曲线相交，有两个公共点 时，直线与双曲线相切，有且仅有一个公共点 时，直线与双曲线相离，无公共点3) 直线与双曲线只有一个公共点,
5、则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用解决方法直线： 双曲线C：（0，0） 联立方程法： 设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出， 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a. 相交弦AB的弦长 或 b. 中点, ， 点差法：设交点坐标为，代入双曲线方程，得 将两式相减，可得a. 在涉及斜率问题时，b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为， 即，11. 焦点三角形面积公式：。一、双曲线的定义1、第一定义：（0）。注意：（1）距离之差的绝对值。（2）2a|F1F2|当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表达焦点F2所相应的一支；当|M
6、F1|MF2|=2a时，曲线仅表达焦点F1所相应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在。 当a=0时，轨迹为两定点连线中垂线。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)二、双曲线的标准方程（，其中|=2c，焦点位置看谁的系数为正数）焦点在x轴上：（a0，b0）；焦点在y轴上：（a0，b0）焦点不拟定期：；与椭圆共焦点的双曲线系方程为：与双曲线共焦点的双曲线系方程是（）与双曲线共渐进线（）的双曲线系方程是三、特殊双曲线：等轴双曲线：（实虚轴相等，即a=b）1、形式：（）； 2、离心率
7、； 3、两渐近线互相垂直，为y=；4、等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。共轭双曲线：（以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线）1、有共同的渐近线；2、共轭双曲线的四个焦点共圆； 3、离心率倒数的平方和等于1。四、几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线五、相关性质：1、点与双曲线的位置关系： 2、中点弦的存在性3、以PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）4若在双曲线（a0,b0）上，则过的切线方程是.若在双曲线（a0,b0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.5、双曲线（a
8、0,bo）的焦点角形的面积为6、以焦点弦PQ为直径的圆必与相应准线相交.7、点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.8、设双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记, ,，则有9、已知双曲线（ba 0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是1，F1、F2是=1的焦点，其上一点P到F1的距离等于9则P到焦点F2的距离. 17 2双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是 .3过点（2，2）且与双曲
9、线y2=1有公共渐近线的双曲线方程是=14已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,那么双曲线的离心率为 5过点A（0，2）可以作_4_条直线与双曲线x21有且只有一个公共点6过点P(4,4)且与双曲线1只有一个交点的直线有3条7若上点P满足（），求8动点与两定点连线斜率之积为正常数时，动点的轨迹为？9若是三角形ABC的顶点，且，求顶点A的轨迹10圆M与圆外切，与圆内切，求M轨迹11已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 12求与有公共焦点的双曲线，使它们交点为顶点的四边形面积最大为 13求与有公共焦点，且渐近线为
10、的双曲线为 14左支一点P到左准线l距离为d，若d, 成等比，求e范围15C：右顶点为A，x轴上一点Q（2a,0），若C上一点P使，求e范围16. 渐近线方程为，则该双曲线的离心率为或16. 已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若AEB=60，则该双曲线的离心率e=217. 设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为218已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0
11、，1)，求实数m的取值范围解析： (1)设双曲线方程为1(a0，b0)双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k21且k2 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)则x1x2，x0，y0kx0m.由题意，ABMN，kAB(k0，m0) 整理得3k24m1 将代入，得m24m0，m0或m4.又3k24m10(k0)，即m. m的取值范围是(4，)19已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）.
12、求k的取值范围. 19直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。（）求实数的取值范围；（）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆通过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值。若不存在，说明理由。解：（）将直线 依直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故（）设A、B两点的坐标分别为、，则由式得 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆通过双曲线C的右焦点F（c,0）. 则由FAFB得：整理得把式及代入式化简得解得可知使得以线段AB为直径的圆通过双曲线C的右焦点.20.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线kx1与曲线E交于A、B两点。（）求的取值范围； （）假如且曲线E上存在点C，使求。（）
13、由双曲线的定义可知，曲线是认为焦点的双曲线的左支，且，易知， 故曲线的方程为 设，由题意建立方程组 消去，得，又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得 =整理后得 或，但 故直线的方程为设，由已知，得，又，点，将点代入的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为到的距离为 的面积抛物线焦点弦性质总结30条基础回顾1. 以AB为直径的圆与准线相切；2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. ;8. A、O、三点共线；9. B、O、三点共线；10. ；11. （定值）；12. ；13. 垂直平分；14. 垂直平分；15. ；16. ；17. ；18. ；19. ;20. ;21. .22. 切线方程 高考资源网性质深究一)焦点弦与切线1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦轴时，则点P的坐标为在准线上证明: 从略结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB但是焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴2、上述命题的逆命题是否成立？结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必
