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1、最新资料推荐超几何分布和二项分布的联系和区别开滦一中 张智民在最近的几次考试中 ,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布 ,二者到底该如 何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题 ?什么时候用超几何分布的公式 去解决呢?好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案 ,其实这个问题的回答就出现在教材上 ,人 教版新课标选修 2-3 从两个方面给出了很好的解释.诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的教材中的定义:(一)超几何分布的定义,k = 0,1,2,m,其中m=minM,n,且nWN,MWN,n,M,NGN,称随机变量X服从超在 含有 M 件
2、次 品的 N 件产品中 , 任 取 n 件,其中恰 有 X 件次 品,则 P(X=k)X01 P广1 厂1川1 厂1.刚广冲一册r6C；Ck Cn-kM_N-MCnN几何分布(二)独立重复试验和二项分布的定义1) 独立重复试验：在相同条件下重复做的 n 次试验,且各次试验试验的结果相互独立, 称为n次独立重复试验，其中A(i=l,2,n)是第i次试验结果，则P(A1 A2A3.An)=P(A 1 )P(A2)P(A3).P(An)2) 二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为P,则P(X=k)=Ckpk (1 - p)n-k (k=0,1,2,n)
3、,此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p), n并称 P 为成功概率。1. 本质区别(1) 超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题;(2) 超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题 ;二项分布中的概率计算实质上是 相互独立事件的概率问题2.计算公式超几何分布:在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k),k = 0,1,2, m,Ck Cn-kM_N-MCnN二项分布:在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为 P,则 P(X=k)= Ckpk (1 - p)n-k (k=0,1,2,n),n温馨提
4、示:当题目中出现“用样本数据估计XXX的总体数据”时，均为二项分布问题。比如 2017-2018高三上学期期末考试19题。二、二者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题： 例某批n件产品的次品率为2%,现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：当n=500,5O00,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是 多少?(2)根据(1)你对超几何分布与二项分布的关系有何认识? 人教版配套的教学参考上给出了如下的答案与解释说明【解】(1 )在不放回的方式抽取中，每次抽取时都是从这n件产品中抽取，从而抽到次品的概率 都为0.02.次品数XB(3,0.
5、02),恰好抽到1件次品的概率为P(X=1)= C1 X 0.02 X (1-0.02)2=3 X 0.02 X 0.9820.057624。3在不放回的方式抽取中,抽到的次品数X是随机变量,X服从超几何分布,X的分布与产品 的总数n有关，所以需要分3种情况分别计算 n=500时,产品的总数为500件，其中次品的件数为500X2%=10,合格品的件数为490. 从500件产品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率为C1 C 230 X 49 区 489 /P(X = 1) = 10 490 =u 0.0 5 7 8 5 3C35 0X49X49 8500 n=5000时,产品的总数为5000件
6、，其中次品的件数为5000X2%=100，合格品的件数为 4900.从5000件产品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概率为C1 C2300X490X04899P(X = 1) = 10 0 4 9 0 =u 0.0 5 7 6 7 4 7C35 00)04 9 9)9499 85000 n=50000时,产品的总数为50000件，其中次品的件数为50000X2%=1000，合格品的件 数为49000.从50000件产品中抽出3件,其中恰好抽到1件次品的概C1 C2300)04900)048999P(X = 1) = 1 0 0 04 9 0 0=0u 0.0 5 7 6 2 6C 35 00
7、0X4999X94999 850000(2)根据(1)的计算结果可以看出,当产品的总数很大时,超几何分布近似为二项分布.这也 是可以理解的,当产品总数很大而抽出的产品较少时,每次抽出产品后,次品率近似不变,这样 就可以近似看成每次抽样的结果是互相独立的,抽出产品中的次品件数近似服从二项分布【说明】由于数字比较大,可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外本题目也可以帮 助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一,n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布当这n次试 验是独立重复试验时,X服从二项分布;当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种 特性(如某种颜色)的球时
8、,X服从超几何分布。第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布,但是当袋子中最新资料推荐的球的数目N很大时,X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增 加。从以上分析可以看出两者之间的联系:当调查研究的样本容量非常大时 ,在有放回地抽取与无放回地抽取条件下 ,计算得到的 概率非常接近,可以近似把超几何分布认为是二项分布下面看相关例题例1.（2016 漯河模拟）寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查 “阳光花园”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了 他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小
9、数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不 低于 8.5 分，则称该人的幸福度为“幸福”幸福度73084466778899求从这16人中随机选取3人,至少有2人为“幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据|，若从该社区（人数很多）任选3人，记 g表示抽到“幸福”的人数，求g的分布列及数学期望先不要急于看答案，大家先自己解一下这道题再往下看，会有意想不到的收获哦错解（1）由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人;记“从这16 人中随机选取3人,至少有2人是“幸福”，”为事件A.由题意得P(A)二 1 -C34C 316C 2 x C1412 = 1 C
10、 3140169701212） g 的可能取值为0，1，2，3P(g = 2)=C3C0412C 3164560P(g = 1)=C2C14_12C 31672 = 9560 = 70C1C24_12C 3162645603370P(g = 3)=C0C3412C 316220 = 11560 = 28所以g的分布列为0123P1403370() = X0+X1 + X2+X3=-1407070284最新资料推荐 错解分析第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又 明确给出“: 以这 16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,从该社区(人数很多)任选 3人”, 说
11、明不是从16人中任选 3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是 3次独 立重复试验,应该按照二项分布去求解,而不能按照超几何分布去处理【正解】(1) (1)由茎叶图可知,抽取的16 人中“幸福”的人数有 12 人,其他的有 4 人;记“从 这 16 人中随机选取 3 人 , 至少有 2 人是“幸福” , ”为事件 A. 由题意得P(A)二 1 -C34C 316C 2 X C1412 二 1 C 3169701211402)由茎叶图知任选一人 ,该人幸福度为“幸福”的概率为3E B(3,-)4E的可能取值为0丄2,3,显然643 (1A 2 心1) = C34 J64(3A2
12、P(E = 2) = C2 -3 I -丿2764276-所以瓷的分布列为0123P19272764646464纵以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉 得不可思议,怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二 项分布是有联系的,看它们的期望公式：(1)在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，随机变量X服从超几 何分布，超几何分布的期望计算公式为EX= nM (可以根据组合数公式以及期望的定义推导);N(2)随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，EX=np;当超几何分布中的N * 时,M T p，此时可以把超几
13、何分布中的不放回抽样问题，近 N似看作是有放回抽样问题，再次说明N Ta时，可以把超几何分布看作是二项分布。 总结：综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。 高考解题中，我们还是要分清超几何分布与二项分布的区别 ，以便能正确的解题，拿到满 分。相信各位同学们手中都应该有历年真题卷和 2018 的模拟试卷吧，快去找几道二项分布和 超几何分布的概率大题试试吧，争取概率满分，加油！再比如：最新资料推荐 18.（本小题满分 12分）（百所名校高考模拟金典卷五）为了调查观众对某电视娱乐节目的喜爱程度,某人在甲、乙两地各随机抽取了 8 名观众 做问卷调查（满分100分），现将结
14、果统计如下图所示（1）计算甲、乙两地被抽取的观众的问卷得分的平 均分以及方差，并根据统计知识简单说明丽甲、乙两地 观众对该电视娱乐节目的喜爱程度;I以频率估计概率,若从甲地观众中再随机抽取 3人进行问卷调查，记问卷分数超过80分的人数为E, 求的分布列与数学期望请看原题答案，居然是错解：、乙两地观众对该电视娱乐3人进行M(70X1+80X4 14分居民评分更集中.因为甲地8名观众的问卷分数中，有2名低于80分,6名超过80分，所以随机抽取3人，超过80分的9分、乙两地对该电视娱乐节目的喜爱程度基本相同，但是甲地居民的评分比乙地85)卄(8385)2 + (85-85)2 + (90 85)2 + (9285)2 + (95 (1)依题藏g (70X2人数W可能为1,2,3.所以卩（=1）=腎=磊,陀=2） = 】护P（E=3）=泄514*10分所以变量的分布
