新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点: 1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表达方法:假如直角三角形的两直角边分别为 a , b ,斜边为 c ,那么 222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理, 在西方称为毕达哥拉斯定理. 我国古代把直 角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股, 斜边称为弦. 早在三千数年前,周 朝数学家商高就提出了 “ 勾三,股四, 弦五 ” 形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了 直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思绪是 ① 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变② 根据同一种图形的面积不同的表达方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下:方法一:4EFGH S S S ∆+=正方形 正方形 ABCD , 2214( 2ab b a c ⨯+-=,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积 为 222( 2S a b a a b b =+=++ 所 以 222a b c +=方 法 三 :1( ( 2S a b a b =+⋅+梯形 , 2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形 ,化简得证3. 勾股定理的合用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系, 它只合用于直角三角形, 对于锐 角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特性, 因而在应用勾股定理时, 必须明了所考察 的对象是直角三角形 4. 勾股定理的应用 ① 已知直角三角形的任意两边长,求第三边在 ABC ∆中, 90C ∠=︒,则 c, b, a ② 知道直角三角形一边,可得此外两边之间的数量 关系③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 5. 勾股定理的逆定理假如三角形三边长 a , b , c 满足 222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中 c 为 斜边 ① 勾股定理的逆定理是鉴定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过 “ 数转 化为形 ” 来拟定三角形的也许形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和 22a b +与较长 边的平方 2c 作比较,若它们相等时,以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形;若cb H EDCBAbabac abcab a bbaED CBA222a b c +<,时, 以 a , b , c 为三边的三角形是钝角三角形; 若 222a b c +>,时, 以 a , b , c 为三边的三角形是锐角三角形;② 定理中 a , b , c 及 222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三 边长 a , b , c 满足 222a c b +=,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是 b 为 斜边 ③ 勾股定理的逆定理在用问题描述时, 不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和 时,这个三角形是直角三角形 6. 勾股数① 可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数, 即 222a b c +=中, a , b , c 为 正整数时,称 a , b , c 为一组勾股数 ② 记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25等 ③ 用含字母的代数式表达 n 组勾股数: 221,2, 1n n n -+(2, n ≥n 为正整数 ;2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数 2222,2, m n mn m n -+(, m n >m , n 为正整数 7.勾股定理的应用勾股定理可以帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的 证明问题. 在使用勾股定理时, 必须把握直角三角形的前提条件, 了解直角三角形中, 斜边 和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线 ,构造 直角三角形,以便对的使用勾股定理进行求解. 8. .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角 三角形, 在具体推算过程中, 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较, 切不可不加思 考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中, 是密不可分的一个整体. 通 常既要通过逆定理鉴定一个三角形是直角三角形, 又要用勾股定理求出边的长度, 两者相辅 相 成 , 完 成 对 问 题 的 解 决 . 常 见 图 形 :ABCD BA ADB C10、互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 这样的两个命题叫做互逆 命题。
假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题勾股定理的作用:(1已知直角三角形的两边求第三边 (2已知直角三角形的一边,求另两边的关系3用于证明线段平方关系的问题 (4运用勾股定理,作出长为 n 的线段二、 经典例题透析类型一:勾股定理的直接用法1、在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°(1已知 a=6, c=10,求 b , (2已知 a=40, b=9,求 c ; (3已知 c=25, b=15,求 a. 思绪点拨 : 写解的过程中, 一定要先写上在哪个直角三角形中, 注意勾股定理的变形使用 解析:(1 在△ ABC 中,∠ C=90°, a=6, c=10,b=(2 在△ ABC 中,∠ C=90°, a=40, b=9,c=(3 在△ ABC 中,∠ C=90°, c=25, b=15,a=举一反三 【变式】 :如图∠ B =∠ ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则 AB 的长是多少 ? 【答案】∵∠ ACD =90° AD =13, CD=12 ∴ AC 2 =AD2-CD 2 =132-122 =25 ∴ AC =5又∵∠ ABC=90°且 BC =3 ∴由勾股定理可得 AB 2=AC 2-BC 2 =52-32 =16 ∴ AB = 4∴ AB 的长是 4.类型二:勾股定理的构造应用 2、 如图, 已知:在 中,,,. 求:BC 的长 . 思绪点拨 :由条件 , 想到构造含角的直角三角形, 为此作于 D ,则有,,再由勾股定理计算出 AD 、 DC 的长,进而 求出 BC 的长 . 解析 :作 于 D ,则因,∴(的两个锐角互余∴ (在 中,假如一个锐角等于 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半 .CB DA根据勾股定理,在 中, . 根据勾股定理,在 中, .∴ .举一反三 【变式 1】如图,已知:, , 于 P . 求证:. 解析 :连结 BM ,根据勾股定理,在 中, .而在 中,则根据勾股定理有 .∴又∵ (已知 ,∴ .在 中,根据勾股定理有 ,∴ .【变式 2】已知:如图,∠ B=∠ D=90°,∠ A=60°, AB=4, CD=2。
求:四边形 ABCD 的面积 分析 :如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结 AC ,或延长 AB 、 DC 交于 F ,或 延长 AD 、 BC 交于点 E ,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三 种较为简朴解析 :延长 AD 、 BC 交于 E ∵∠ A=∠ 60°,∠ B=90°,∴∠ E=30°∴ AE=2AB=8, CE=2CD=4,∴ BE 2=AE2-AB 2=82-42=48, BE==∵ DE 2= CE2-CD 2=42-22=12,∴ DE== ∴ S 四边形 ABCD =S△ ABE -S △ CDE =AB ²BE-CD ²DE=类型三:勾股定理的实际应用(一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地 A 点出发,沿北偏东 60°方向走了 到达 B 点, 然后再沿北偏西 30°方向走了 500m 到达目的地 C 点1求 A 、 C 两点之间的距离2拟定目的地 C 在营地 A 的什么方向解析 :(1过 B 点作 BE//AD∴∠ DAB=∠ ABE=60°∵ 30°+∠ CBA+∠ ABE=180°∴∠ CBA=90°即△ ABC 为直角三角形由已知可得:BC=500m, AB=由勾股定理可得:所以(2在 Rt △ ABC 中,∵ BC=500m, AC=1000m∴∠ CAB=30°∵∠ DAB=60°∴∠ DAC=30°即点 C 在点 A 的北偏东 30°的方向举一反三【变式】一辆装满货品的卡车,其外形高 2.5米,宽 1.6米,要开进厂门形状如图的某工 厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ? 【答案】 由于厂门宽度是否足够卡车通过, 只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小 于 CH .如图所示,点 D 在离厂门中线 0.8米处,且 CD ⊥AB, 与地面交于 H .解:OC =1米 (大门宽度一半 , OD =0.8米 (卡车宽度一半 在 Rt △ OCD 中,由勾股定理得:CD ===0. 6米,C H=0. 6+2. 3=2. 9(米>2. 5(米 .因此高度上有 0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.(二用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网 改造,某地有四个村庄 A 、 B 、 C 、 D ,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村 庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案, 如图实线部分. 请你帮助计算一下, 哪种 架设方案最省电线. 思绪点拨 :解答本题的思绪是:最省电线就是线路长最短, 通过运用勾股定理计算线路长, 然后进行比较,得出结论.解析 :设正方形的边长为 1,则图(1 、图(2中的总线路长分别为AB+BC+CD=3, AB+BC+CD=3图(3中,在 Rt △ ABC 中 同理∴图(3中的路线长为图(4中,延长 EF 交 BC 于 H ,则 FH ⊥ BC , BH =CH由∠ FBH =及勾股定理得:EA =ED =FB =FC =∴ EF =1-2FH =1 -∴此图中总线路的长为 4EA+EF= 3>2.828>2.732∴图(4的连接线路最短,即图(4的架设方案最省电线.举一反三【变式】如图,一圆柱体的底面周长为 20cm ,高AB为 4cm ,BC是上底面的直径.一 只蚂蚁从点 A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点 C ,试求出爬行的最短路程.解: 如图,在 Rt △ABC中,BC=底面周长的一半=10cm , 根据勾股定理得(提问:勾股定理∴ AC ===≈10.77(cm (勾股定理 . 答:最短路程约为10.77cm . 类型四:运用勾股定理作长为 的线段5、作长为 、 、 的线段。