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1、2017年考研数学二真题、选择题1 8小题.每小题4分，共32分.1 8s x x 01 .若函数f(x) ax 0在X 0处连续，则 b, x 011(A) ab -(B) ab 221 x【详解】lim f (x) lim 1-8sH lim -2_ x 0x 0 ax x 0 ax11 必须满足 b ab .所以应该选(A) 2a2(C) ab 0,lim f (x) b2a x 0(D) ab 2f(0),要使函数在x 0处连续,2.设二阶可导函数f (x)满足 1) f( 1) 1 , f (0)1(A) 1f (x)dx 001(C)1f (x)dx 0 f (x)dx1(B) 1
2、 f (x)dx 001(D)1f (x)dx 0 f (x)dx【详解】注意到条件f (x) 0,则知道曲线f(x)在 1,0 , 0,1上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然1,0时，f (x) 2x 1 ,当x 0,1时，f (x) 2x 1 ,而且两个式子的等号不是处处成立,否则不满足二阶可导.所以101J(x)dx ( 2x 1)dx q (2x 1)dx 0.所以选择(B).当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数f (x)0111f(x)dx3,01 f (x)dx ,可判断出选项(3A), (C), (D)都是错误的，当然选择(B).希望同学们在复习基础知识的同
3、时，掌握这种做选择题的技巧.3.设数列 xn收敛，则(A)当 limsin xn 0 时，lim xn 0nn2、(C)当 lim(xn xn) 0 时，lim xn 0nn【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有(其实此题注意，设lim x A,则n n(B)当 lim( xn 7|xJ) 0时，lim xn 0 nn(D)当 lim(xn sinxn) 0时，lim xn 0 nnD)是正确的.limsin xn nsin A,lim( xn J xn )n/A ?|A ,lim( xnx2) A A2,lim( xnsin xn)nA sin A分别解方程sinA 0,A , A
4、 0,A A20,A sinA 0时，发现只有第四个方程A sin A 0有唯一解A 0 ,也就是得到lim xn 0 . n4.微分方程 y 4y 89 e2x(1 cos2x)的特解可设为 y* ()(A)Ae2xe2x(Bcos2x Csin2x)(B) Axe2xxe2x(Bcos2xCsin2x)2 x 2x_2x 2x_(C)Aexe (Bcos2x C sin 2x)(D) Axexe (Bcos2xC sin 2x)【详解】微分方程的特征方程为r2 4r 8 0 ,有一对共轲的复数根 r 2 2i .所以1 2不是特征方程的根，所以对应方程y 4y 89 e2x的特解应该设为
5、y1* Ae2x；而 22 2i是方程的单根，所以对应方程y 4y 89 e2x cos2x的特解应该设为y2* xe2x(Bcos2x Csin2x)；从而微分方程 y 4y 89 e2x(1 cos2x)的特解可设为 y* y1 * y2* Ae2x xe2x(Bcos2x Csin 2x),应该选(C).5 .设f (x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y)都有f(x,y)0, f(x,y) 0,则()xy(A)f(0,0)f(1,0)(B)f(0,0)f(1,1)(C)f(0,1)f(1,0)(D) f(0,1)f(1,0)【详解】由条件又任意的(x, y)都有f(x, y) 0,
6、 f(x, y) 0可知f(x,y)对于x是单调增加的，xy对 y 就单调减少的.所以 f(1,1) f(1,0)f(0,0), f(1,1) f (0,1) f (0,0), f (0,1)f(0,0)f(1,0),只有第三个不等式可得正确结论(D),应该选(D).6 .甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：米)处，如图中，实线表示甲的速度曲线 v M(t)(单位：米/秒)，虚线表示乙的速度曲线v v2(t)(单位：米/秒)，三块阴影部分的面积分别为10,20,3 ,计时开始后乙追上甲的时刻为卜，则( )(A) t0 10(B) 15 t0 20(C) t0 25(D) t0 2
7、5T2【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，S(t)v(t)dt表示时刻T1,T,T1内所走的路程.本题中的阴影面积S1, S2,S3分别表示在时间段 0,10 ,10,25 , 25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在 t 25时乙追上甲，应该选(C).7.设A为三阶矩阵，P3为可逆矩阵，使得P1AP则 A( 123)()(A)12(B)22(C)(D)【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目.可知所以A( 18.已知矩阵(A)(C)A(2,3)AP0,所以可知选择(B).A,C相似,A,C不相似,B,C相似B,C相似【详解】矩阵A,B的特征值都是(B) A,C
8、相似,B,C不相似(D)2, 3A,C不相似，B,C不相似1.是否可对解化，只需要关心2的情况.0对于矢I阵A, 2E A 0秩等于1也就是矩阵A属于特征值2存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是0对于矢I阵B , 2E B 0征向量，也就是不可以对角化，当然二、填空题(本题共 6小题，每小题9.曲线y解：lim y x x10.设函数也就是矩阵A属于特征值B,C不相似故选择(B).4分，满分24分.把答案填在题中横线上)x(1 arcsin 2)的斜渐近线为x一 .2、x(1 arcsin) lim-x xy y( x)由参数方程2只有一个线性无关的特lim( y x) lim
9、 xarcsin - 2 ,所以斜渐近线为y x 2 .t et 人 一t e确定，则 sintdly1 121t 0dx【详解】dy cost d2y dx 1 et , dx2,cost dt1 etdt dxdt(1 et)sin t e costt 3(1 e)d2 y，所以hy It 0dx11 0ln(1 x)(1x)2dx【详解】ln(1 x)dln(1 x) |01 x12.设函数f （x,y）具有一阶连续的偏导数，且已知df (x, y)y .ye dx x(1y)eydy, f(0,0)0,则f (x, y)【详解】df(x,y) yeydx x(1 y)eydy d(xy
10、ey)所以 f (x, y) xyey C由 f(0,0)0,得 C 0,所以 f (x, y) xyey ., c 1 ,1tanx ,13. dy dx0 y x【详解】交换二重积分的积分次序得:10dy1 tan x dx1dx0tan x dy x1tan xdx0In cosxIn cos1.14.设矩阵A 1的一个特征向量为1【详解】根据特征向量的定义,2a ，三、解答题15 .（本题满分x10分)求极限lim -0x 0、x tetdtx3【详解】令xu,贝Ut,dtdutetdtuex udulimx 0；x te,dtx3一limx 016.（本题满分10分）0x ueudu
11、limx 0. ue udu0,x3limx 0xe xI0 ,2 |x 0 dxi(1,1);d2y dx2exfi (ex,cos x) ex( fn(ex,cos x)ex sin xf12(ex,cos x)cosxf2 (ex,cos x)设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，y f (ex,cos x),求dy |xdx【详解】dyf1 (ex,cos x)ex f2(ex,cosx)( sin x) , dy |x 0dxdxsinxexf21 (ex,cos x) sin2 xf22(ex,cos x)d2y dx2|x0 L(1,1)储(1,1)f2(1,1).17 .(本题
12、满分10分)n k-k 求 lim 2 In 1 一 n k 1 nn【详解】由定积分的定义lim 2 ln 1 一n k 1 nnlim In 1 一n n k1n n1o x ln(1 x)dx1 121ln(1 x)dx2 0418 .(本题满分10分)已知函数y(x)是由方程x33 一一一 一y3 3x 3y 2 0.【详解】在方程两边同时对 x求导，得223x 3y y 3 3y 0(1)在(1)两边同时对x求导，得22_22(x y(y)也就是y2x 2y(y) y y y 01 y2令 y 0 ,得 x 1 .当 x1 1 时，y1 1 ；当 x21 时，y2 0当x1 1时，y
13、 0, y 1 0,函数y y(x)取极大值y1 1；当x21时，y 0, y 1 0函数y y(x)取极小值y2 0 .19 .(本题满分10分)设函数f(x)在区间0,1上具有二阶导数，且f(1)0,limx 0f(x)x(1)方程f(x) 0在区间0,1至少存在一个实根;(2)方程f(x)f (x) (f (X)2 0在区间0,1内至少存在两个不同实根.(0,)，使得证明：(1)根据的局部保号性的结论，由条件 lim上) 0可知，存在0 x 0 xf(Xi) 0,由于f(x)在Xi,1上连续，且f (Xi) f (1) 0,由零点定理，存在(X1,1)(0,1),使得f( ) 0,也就是方程f (X) 0在区间0,1至少存在一个实根;f (x)(2)由条件lim0可知f (0)0 ,由(1)可知f (X 0 X)0,由洛尔定理,存在(0,)，使得0；设 F(x)f(X)f (X),由条件可知F(x)在区间0,1上可导,且 F(0) 0,F()0,F(
