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1、4.4三角函数的最值与综合应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点三角函数的最值与综合应用1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值).2.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2017浙江,18三角函数的最小正周期、单调区间三角函数的恒等变换2015浙江文,11三角函数的最小值与最小正周期三角函数的恒等变换2014浙江,17三角函数的实际应用函数的最值分析解读1.三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用,是数形结合的较好体现,是高考的热点.2.三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要模型,在数学和其他领域中具有重要的
2、作用,在高考命题中,单摆、弹簧振子、圆上一点的运动,以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等周期现象是新的命题背景,借此突出数学的应用性质,也是高考命题的关注点.3.预计2020年高考试题中,本节内容是高考命题的热点,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点三角函数的最值与综合应用1.(2018浙江镇海中学单元测试,12)函数f(x)=sin 2x+e|sin x+cos x|的最大值与最小值之差等于.答案+12.(2018浙江宁波模拟(5月),18(1)已知函数f(x)=4cos xsin-1.求函数f(x)的单调递增区间.解析f(x)=4cos x-1=sin 2x-cos 2x-2=2sin-2
3、,由于-+2k2x-+2k,kZ,所以-+kx+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间为,kZ.炼技法【方法集训】方法1求三角函数的值域(最值)的方法1.(2017浙江金华十校调研,17)若函数f(x)=|asin x+bcos x-1|+|bsin x-acos x|(a,bR)的最大值为11,则a2+b2=.答案502.(2017浙江台州调研,18)在平面直角坐标系xOy中,已知点P,将向量绕原点O按逆时针方向旋转x弧度得到向量.(1)若x=,求点Q的坐标;(2)已知函数f(x)=,令g(x)=f(x)f,求函数g(x)的值域.解析(1)由已知得xQ=cos=cos cos -sinsin
4、=,yQ=sin=sin cos +cos sin =,所以点Q的坐标为.(2)函数f(x)=cos+sin=cos x-sin x+cos x+sin x=cos x,于是,g(x)=cos xcos=-sin 2x=-sin.因为-1sin1,所以g(x)的值域为.方法2三角函数的综合应用问题的方法1.(2017浙江杭州质检,9)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=5,+-=0,则a+c=() A.6B.7C.8D.9答案B2.(2018浙江名校协作体,18)函数f(x)=2sin(x+)+1的图象过点,且相邻的两个最高点与最低点的距离为.(1)求函数f(x)的解析式和
5、单调增区间;(2)若将函数f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的,得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的值域.解析(1)由已知相邻的两个最高点和最低点的距离为,可得+42=,解得=2.f=2sin+1=+1,sin=.又0,=,f(x)=2sin+1,当f(x)单调递增时,- +2k2x+2k,kZ,-+kx+k,kZ.f(x)的单调增区间为,kZ.(2)由题意得g(x)的解析式为g(x)=-2sin 4x+1,当x时,4x,-sin 4x1,g(x)-1,+1.过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点三角函数的最值与综合应用1.(2016课
6、标全国,12,5分)已知函数f(x)=sin(x+),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则的最大值为() A.11B.9C.7D.5答案B2.(2017课标全国文,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为.答案3.(2017课标全国理,14,5分)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是.答案14.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin+sin,其中03.已知f =0.(1)求;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象
7、,求g(x)在上的最小值.解析本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质及最值.(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sin x-cos x-cos x=sin x-cos x=sin.由题设知f=0,所以-=k,kZ.故=6k+2,kZ,又00,0)的图象变换:由y=sin x的图象变换得到y=Asin(x+)(A0,0)的图象有两种方法.方法一:(先平移后伸缩)y=sin x的图象y=sin(x+)的图象y=sin(x+)的图象y=Asin(x+)的图象.方法二:(先伸缩后平移)y=sin x的图象y=sin x的图象y=sin(x+)的图象y=Asin(x+)的图象.教师专用
8、题组考点三角函数的最值与综合应用1.(2017北京文,16,13分)已知函数f(x)=cos-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x时, f(x)-.解析本题考查三角恒等变换,三角函数的性质.(1)f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T=.(2)证明:因为-x,所以-2x+.所以sinsin=-.所以当x时, f(x)-.易错警示正确化简y=f(x)是解题的关键.在(2)中,证明f(x)-时容易忽视x的取值范围.2.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x
9、R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=-=- cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.所以, f(x)的最小正周期T=.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f =-, f =-, f=.所以, f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.评析本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.3.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=sin(x+)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)若f=,求
10、cos的值.解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期T=,从而=2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2+=k+,k=0,1,2,.由-得k=0,所以=-=-.(2)由(1)得f=sin=,所以sin=.由得0-,所以cos=.因此cos=sin =sin=sincos+cossin=+=.4.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若是第二象限角, f=coscos 2,求cos -sin 的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,kZ.由-+2k3x+2k,kZ,得-+x+,k
11、Z.所以,函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)由已知,有sin=cos(cos2-sin2),所以sin cos+cos sin=(cos2-sin2).即sin +cos = (cos -sin )2(sin +cos ).当sin +cos =0时,由是第二象限角,知=+2k,kZ.此时,cos -sin =-.当sin +cos 0时,有(cos -sin )2=.由是第二象限角,知cos -sin 0,此时cos -sin =-.综上所述,cos -sin =-或-.评析本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整
12、合、化归与转化等数学思想.5.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间实验室需要降温?解析(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,又0t24,所以t+11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin11,即sin-.又0t24,因此t+,即10t18.在10时至18时实验室需要降温.评析考查了正弦函数的性质,考查了运算求解能力.正确利用正弦函数的单调性是解题的关键.计算失
13、误是造成失分的重要原因之一,应充分重视.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,10)已知x,y,且xtan y=2(1-cos x),则() A.yB. yC. yx答案C2.(2018浙江镇海中学阶段测试,4)有4个关于x的函数:y1=sin x+cos x,y2=sin x-cos x,y3=sin xcos x,y4=.这4个函数中,在上单调递增的函数的个数是()A.0B.1C.2D.3答案C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共12分)3.(2019届浙江高考信息卷(二),14)已知函数f(x)=sin2x-sin2,xR, f(x)在区间上的最大值是,最小值是.答案;-4.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,15)已知函数f(x)=sin(x+)的图象过点.若f(x)f对xR恒成立,则的值为;当最小时,函数g(x)=f-在区间0,22上的零点个数为.答案=1+12k,kZ;8三
