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1、【讲义课题】: 三角函数图像和性质【考点及考试要求】1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2三角函数的单调区间:的递增区间是,递减区间是;的递增区间是,递减区间是,的递增区间是,3函数最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。途径一:先平移变换再周期
2、变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0),便得ysin(x)的图象。途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0),再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位,便得ysin(x)的图象。5由yAsin(x)的图象求其函数式:给出图象确定解析式y=Asin(x+)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。6对称轴与对称中心:的对称轴为,对称中心为;的对称轴为,对称中心为;对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。7求三
3、角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;8求三角函数的周期的常用方法:经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。9五点法作y=Asin(x+)的简图:五点取法是设x=x+,由x取0、2来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。题型1:三角函数的图象例1(2000全国,5)函数yxcosx的部分图象是( )解析:因为函数yxcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A、C,当x(0,)时,yxcosx0。答案为D。例2(2002上海,15)函数y=x+sin|x|,
4、x,的大致图象是( )解析:由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|,x,为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数,B为偶函数,C为非奇非偶函数。点评:利用函数的性质来描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。题型2:三角函数图象的变换例3试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象。解析:y=sin(2x+)另法答案:(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,得y=sin2x的图象;(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=sinx的图象;(3)再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横
5、坐标不变),即可得到y=sinx的图象。例4把曲线ycosx+2y1=0先沿x轴向右平移个单位,再沿y轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是( )A(1y)sinx+2y3=0 B(y1)sinx+2y3=0C(y+1)sinx+2y+1=0 D(y+1)sinx+2y+1=0解析:将原方程整理为:y=,因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位,因此可得y=1为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.点评:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解,可直接化为:(y+1)cos(x)+2(y+1)1=0,即得C选项。题型3:三角函数图象的应用例5图
6、.(1)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,xR)在一个周期内的图象如图所示,求直线y=与函数f(x)图象的所有交点的坐标。解析:根据图象得A=2,T=()=4,=,y=2sin(+),又由图象可得相位移为,=,=.即y=2sin(x+)。根据条件=2sin(),=2k+(kZ)或=2k+(kZ),x=4k+(kZ)或x=4k+(kZ)。所有交点坐标为(4k+)或(4k+)(kZ)。点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。(2)(2002全国文5)在(0,2)内,使sinxcosx成立的x取值范围为( )A(,)(,) B(,)C(,) D(,)
7、(,)解析:C;解法一:作出在(0,2)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标和,由图1可得C答案。图1 图2解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选C。(如图2)题型4:三角函数的定义域、值域例7(1)已知f(x)的定义域为0,1,求f(cosx)的定义域;(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域;分析:求函数的定义域:(1)要使0cosx1,(2)要使sin(cosx)0,这里的cosx以它的值充当角。解析:(1)0cosx12kx2k+,且x2k(kZ)。所求函数的定义域为xx2k,2k+且x2k,kZ。(2)由sin(cosx)02kcosx2k+
8、(kZ)。又1cosx1,0cosx1。故所求定义域为xx(2k,2k+),kZ。点评:求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:一是图象,二是三角函数线。例8已知函数f(x)=,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域。解析:由cos2x0得2xk+,解得x,kZ,所以f(x)的定义域为x|xR且x,kZ,因为f(x)的定义域关于原点对称,且f(x)=f(x)。所以f(x)是偶函数。又当x(kZ)时,f(x)=。所以f(x)的值域为y|1y或y2。点评:本题主要考查三角函数的基本知识,考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。题型5:三角函数的单调性例9求下列函数的单调区间:(
9、1)y=sin();(2)y=sin(x+)。分析:(1)要将原函数化为y=sin(x)再求之。(2)可画出y=|sin(x+)|的图象。解:(1)y=sin()=sin()。故由2k2k+。3kx3k+(kZ),为单调减区间;由2k+2k+。3k+x3k+(kZ),为单调增区间。递减区间为3k,3k+,递增区间为3k+,3k+(kZ)。(2)y=|sin(x+)|的图象的增区间为k+,k+,减区间为k,k+。例10(2002京皖春文,9)函数y=2sinx的单调增区间是( )A2k,2k(kZ)B2k,2k(kZ)C2k,2k(kZ)D2k,2k(kZ)解析:A;函数y=2x为增函数,因此求
10、函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。题型6:三角函数的奇偶性例11判断下面函数的奇偶性:f(x)=lg(sinx+)。分析:判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称,然后再看f(x)与f(x)的关系。解析:定义域为R,又f(x)+f(x)=lg1=0,即f(x)=f(x),f(x)为奇函数。点评:定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要(但不充分)条件。例12关于x的函数f(x)=sin(x+)有以下命题:对任意的,f(x)都是非奇非偶函数;不存在,使f(x)既是奇函数,又是偶函数;存在,使f(x)是奇函数;对任意的,f(x)都不是偶函数。其中一个假命题的序号是_.
11、因为当=_时,该命题的结论不成立。答案:,k(kZ);或者,+k(kZ);或者,+k(kZ)解析:当=2k,kZ时,f(x)=sinx是奇函数。当=2(k+1),kZ时f(x)=sinx仍是奇函数。当=2k+,kZ时,f(x)=cosx,或当=2k,kZ时,f(x)=cosx,f(x)都是偶函数.所以和都是正确的。无论为何值都不能使f(x)恒等于零。所以f(x)不能既是奇函数又是偶函数。和都是假命题。点评:本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意kZ不能不写,否则不给分,本题的答案不惟一,两个空全答对才能得分。题型7:三角函数的周期性例13求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期,并求x为何值时,y有最大值。分析:将原函数化成y=Asin(x+)+B的形式,即可求解。解析:y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4xsin2xcos2x+cos4x)=13sin2xcos2x=1sin22x=cos4x+。T=。当cos4x=1,即x=(kZ)时,ymax=1。题型8:三角函数的最值例14设M和m分别表示函数y=cosx1的最大值和最小值,则M+m等于( )A B C D2解析:D;因为函数g(x)=cosx的最大值、最小值分别为1和1。所以y=cosx1的最大值、最小值为和。因此M+m=2。