含参变量的积分

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1、含参变量的积分 ; 含参变量的积分 1含参变量的正常积分 1 求以下极限： (1) lima011x2a2dx；(2) lim(3) lima002x2cosax dx；dx. 221xa1aa0a2求F(x)，其中： (1) F(x)(2) F(x)(3) F(x)x2xexydy； ex1y22cosxsinxbxdy；axsin(xy)dy； y(4)x0xf(t,s)dsdt. t223设f(x)为连续函数，1F(x)2h求F(x).4研究函数x0xf(x)dd， 0F(y)10yf(x)dxx2y2的连续性，其中f(x)是0，1上连续且为正的函数.5应用积分号下求导法求以下积分：(1

2、) (2) (3)20ln(a2sin2x)dx(a1);0ln(12acosxa2)dx(|a|1)；ln(a2sin2xb2cos2x)dx(a,b0)；20(4)20arctan(atanx)dx(|a|1).tanx6应用积分交换次序求以下积分： (1)10xbxadx(a0,b0)； lnxba1xx(2) sinlndx(a0,b0).0xlnx17设f为可微函数，试求以下函数的二阶导数： (1) F(x)(2) F(x)1x0b(xy)f(y)dy； f(y)|xy|dy(ab)；1a2211xyx2y28证明：dxdydy2dx.00(x2y2)200(xy2)29设F(y)1

3、0lnx2y2dx，问是否成立F(0)lnx2y2|y0dx. 0y110设F(x)excoscos(xsin)d02求证F(x)2.11设f(x)为两次可微函数，(x)为可微函数，证明函数11xatu(x,t)f(xat)f(xat)(z)dz22axat满足弦振动方程22u2ua t2x2及初始条件u(x,0)f(x),ut(x,0)(x). 2含参变量的广义积分 1证明以下积分在指定的区间内一致收敛： (1)0cos(xy)dy(xa0)；x2y2cos(xy)dy(x)； 21y(2)0(3) (4)1yxeydy(axb)；exycosydy(p0,x0)； py1(5)0sinx2

4、dx(p0). 1xp22讨论以下积分在指定区间上的一致收敛性： (1) (2)0exdx(0)；xexydy，ixa,b (a0)，iix0,b；0(3)e(x)dx，iab，ii；2(4)0ex2(1y2)sinxdy(0x).3设f(t)在t0连续，求证：0tf(t)dt当a,b皆收敛，且ab。0tf(t)dt关于在a,b一致收敛.4讨论以下函数在指定区间上的连续性： (1) F(x)0xdy，x(,)；x2y2(2) F(x)0y2dy，x3； 1yx(3) F(x)0sinydy，x(0,2). x2xy(y)5假设f(x,y)在a,bc,)上连续，含参变量广义积分I(x)cf(x,

5、y)dy在a,b)收敛，在xb时发散，证明I(x)在a,b)不一致收敛.6含参变量的广义积分I(x)cf(x,y)dy在a,b一致收敛的充要条件是：对任一趋于的递增数列An其中A，函数项级数 1cn1An1Anf(x,y)dyun(x)n1在a,b上一致收敛.7用上题的结论证明含参变量广义积分I(x)cf(x,y)dy在a,b的积分交换次序定理定理19.12和积分号下求导数定理定理19.13.8利用微分交换次序计算以下积分：(1) In(a)0dx n为正整数，a0； 2n1(xa)(2)0eaxebxsinmxdxa0,b0； x(3)0xexsinbxdx (0).29用对参数的积分法计算

6、以下积分： (1)0eaxebx； dxa0,b0xeaxebxsinmxdxa0,b0. x22(2)01y(1x2)edy计算拉普拉斯积分 10利用201xcosxLdx 201x和L111利用0xsinxdx.1x212x0exydy(x0)计算傅伦涅尔积分2Fsinx2dx01sinxdx 02x和F112利用已知积分01cosxcosxdxdx.20x2计算以下积分：(1)02sinxdx，exdx 0x220sin4xdx； 2x(2)20sinycosyxdy； y2(3) (4)0x2exdx (a0)；0e(axe2bxc)dx (a0)；(5)(x2a2x2)dx (a0).13求以下积分： (1)01etcostdt； t(2)0ln(1x2)dx.1x214证明：1,b (b1)上一致收敛； 在ln(xy)dy0b1dx(2) y在(,b (b1)上一致收敛.0x(1)13欧拉积分