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1、智巧趣题 教学目的数学问题中有许多趣题，它们充足地体现了数学思维和措施的神奇魅力，学习这些趣题，并掌握其中的数学原理，有助于我们思维的拓展，同步激发对数学的爱好。学海导航知识要点本讲重要考察学生对于所学知识的活学活用能力，注意观测生活中的各类事实，学会用数学措施巧解各类问题。旨在锻炼学生的灵活思考、创新思考的能力，鼓励学生多多动手、动脑，从解决问题的过程中感受学习的乐趣。例题精讲【例1】 (超常、超常3)集市上有位卖鱼的老人，3条鱼5元，这时来了3个人，准备一起买者3 条鱼，可是每人都是2元的钱，卖鱼的老人又没有零钱找，最后三个人觉得6元买3条鱼也挺值就每人出2元买了. 卖鱼的老人越想越觉得不
2、合适，怎么能多收1元呢？于是她坐车去追买鱼人，追上时卖鱼的老人说：“多收你们1元，坐车用4角，还剩6角，退给你们每人2角.”可是3个人怎么算也不对，每人出2元，又退了2角，等于每人出1元8角，共5元4角，再加上坐车的4角，一共5元8角，怎么少2角呢？ 你懂得为什么吗？ 【分析】 其实没少.应当5元4角加上退回的6角共6元.(超常2、超常1)3人去餐馆吃饭，每人出10元，结帐时共花25元，找回5元，用剩余的5元买了2元的水果，剩余3元每人退1元，成果一算账：每人实际出9元，共27元，加上卖水果的2元，共29元，怎么少了1元呢？【分析】 27元涉及25元的餐费和2元的水果，再加上退的3元共30元.
3、【例2】 (超常、超常3)用一只平底锅煎饼，每次能同步放两个饼。如果煎个饼需要分钟（假定正背面各需分钟），问煎个饼至少需要几分钟？【分析】 先煎第一种饼和第二个饼的正面用分钟，再煎第一种饼的背面和第三个饼的正面用分钟，接着煎第二个饼和第三个饼的背面用分钟，共用分钟。（超常2）用一只平底锅煎饼，每次能同步放两个饼。如果煎个饼需要分钟（假定正背面各需分钟），问煎个饼至少需要几分钟？【分析】 是奇数，因此如果两个两个地煎，最后肯定会剩余一种，结合上题煎个饼的例子，可以先两个两个地煎好个，最后的个再用分钟煎完，因此一共需要分钟。（超常1）（年月日“数学大王”邀请赛三年级第题）烤烧饼时，第一面需要烤分钟
4、，第二面需要烤分钟，而烤烧饼的架子上一次最多只能放个烧饼。要烤个烧饼至少需要分钟。【分析】第一次烤的正面和的正面，需要分钟；第二次烤的背面和的正面，需要分钟；第三次烤的背面和的背面，需要分钟；因此要烤个烧饼至少需要分钟。【例3】 (超常)一种人带着一只狐狸、一只鹅和某些玉米渡河，每次只能带同样，可是人不在时，狐狸要吃鹅，鹅要吃玉米.那么应当如何渡河呢？ 【分析】 先带鹅过河，自己划船回来，第二次带狐狸过去，再把鹅带回来，第三次带玉米过河，自己划船，第四次再把鹅带过去即可.（超常3）有3个商人和3个随从在河岸边,她们都想过河,只有一艘船,没有船夫,并且船一次只能载2个人.任何时候船过了河,只要这
5、6个人没过完,都得人回来接,怎么才干顺利过河呢?规定任何时候都不得随从数目不小于商人数目,避免她们劫财.【分析】 第1次：1商1从过河，商回， 第2次：2从过河，1回，第3次：2商过河，1商1从回， 第4次：2商过河，从回， 第5次：2从过河， 第6次：再回，接最后一种随从过河。（超常2）小王骑牛赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁头牛，甲牛过河需分，乙牛过河需 分，丙牛过河需分，丁牛过河需分。每次只能赶两头牛过河。问要把这头牛都赶到对岸去，至少需几分？【分析】 为了使总时间至少，则过河时用时多的牛要一起赶，返回时要骑用时少的牛，因此在赶牛时要先把用时少的牛赶到对岸去，这样返回时就可以骑回来。具体措施
6、如下：先将甲、乙两头牛赶到对岸，用时分钟，然后骑甲牛回来，再赶丙、丁两头牛区对岸，骑乙牛回来，最后骑甲、乙两头牛到对岸，整个过程一共用时（分钟）。（超常1）有4个人要过一座桥。她们都站在桥的某一边，要让她们在17分钟内所有通过这座桥。这时是晚上。她们只有一种手电筒。最多只能让两个人同步过桥。不管是谁过桥，不管是一种人还是两个人，必须要带着手电筒。手电筒必须要传来传去，不能扔过去。每个人过桥的速度不同，两个人的速度必须以较慢的那个人的速度过桥。 第一种人：过桥需要1分钟； 第二个人：过桥需要2分钟； 第三个人：过桥需要5分钟； 第四个人：过桥需要10分钟。例如，如果第一种女人与第4个女人一方面过
7、桥，等她们过去时，已通过去了10分钟。如果让第4个女人将手电筒送回去，那么等她达到桥的另一端时，总共用去了20分钟，行动也就失败了。如何让这4个女人在17分钟内过桥？尚有别的什么措施？【分析】 第一种人,第二个人先过桥-用时2分钟第一种人回来送手电-用时1分钟第三个人,第四个人再过桥-用时10分钟第二个人回来送手电-用时2分钟第一种人,第二个人最后过桥-用时2分钟共用了17分钟。【例4】 (超常、超常3)一种人带着两只桶去沟边取水，一只桶可盛3公斤水，另一只可盛5公斤水，目前要取4公斤水，应当如何取？【分析】 先把盛3公斤水的小桶盛满水，倒进盛5公斤的大桶里，把小桶盛满水，再倒入大桶里，由于大
8、桶里已有3公斤的水，当倒满5公斤时，小桶还剩余1公斤的水把大桶里的水全倒掉，然后把小桶里的1公斤水倒进大桶里，再把小桶装满水倒入大桶里，这时大桶里正好有4公斤水（超常2）有大、中、小个瓶子，最多分别可装入水克，克和克，目前大瓶中装满水，但愿通过水在个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出装克水的刻度线，问至少倒几次水？【分析】 次，详见下表（单位：克）：大中小（超常1）今有升果汁一瓶，要用升和升的两种容器提成升一份的两份果汁，怎么分？【分析】设个容器分别为（升）、（升）、（升）。（升的容器）（升的容器）（升的容器）本来倒水到，使倒满倒水到，使倒空倒水到，使倒满倒水到，使倒空倒水到，使倒满倒水到，使倒
9、满倒水到，使倒空倒水到，使倒空倒水到，使倒满倒水到，使倒空【例5】 (超常)有颗珍珠，其中有一颗假珍珠，但外观和真的同样，看不出来是假的，只是假珍珠比真珍珠轻某些，你能运用天平不用砝码，只称两次就找出假的珍珠吗？如何称呢？【分析】 如果每次在每个托盘里只放一颗珍珠的话，那么天平低的那一颗是假的，9颗珍珠，也许需要称四次才行如果每个托盘中每次称两颗，那么如果不平衡，取轻的一侧托盘中的两颗珍珠再称，分别置于两个托盘内，较低一侧的为假的但是这样也有也许要称三次，不合规定那么第一次在左右两托盘各放置3颗珍珠： 如果不平衡，那么较高的一侧的3颗中有一颗是假的从中任取两颗分别放在两托盘内： 如果不平衡，较
10、低的一侧的那颗珍珠是假的；如果平衡，剩余的那颗是假的； 如果平衡，剩余的三颗中必有一颗为假的从中任取两粒分别放在两托盘内：如果不平衡，较高的一侧的那颗珍珠是假的；如果平衡，剩余的那颗是假的因此只需要称两次就可以找出假的珍珠（超常3、超常2、超常1）有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克，那么，要找出这箱次品至少要称几次？【分析】 解决这个问题有一种巧妙的措施：将10箱钢珠分别编为110号，然后从1号箱中取1个钢珠，从2号箱中取2个钢珠从10号箱中取10个钢珠，共取出个钢珠，将这些钢珠放到天平上称，本来应重550克，如果轻了()克，那么第号箱
11、就是次品这是由于每个次品钢珠比正品轻1克，那么轻了克阐明取出的55个钢珠中有个是次品，那么是从第号箱中取出的，阐明第号箱就是次品在这个措施中，第10号箱也可以不取，这样共取出45个钢珠，如果重450克，那么第10号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品【例6】 (超常)将一根绳子对折、对折再对折，然后从绳子中间剪一刀，则绳子被剪成多少段？【分析】 绳子对折、对折再对折后共被对折成（段），在绳子中间剪一刀相称于在本来的绳子上剪了刀，因此共被剪成段。（超常3）将一根绳子对折次后从中间剪一刀，则绳子被剪成多少段？【分析】 绳子对折次后被对折成（段），在绳子中间剪一刀相称于在本来的绳子上剪了刀，因此共被
12、剪成（段）。（超常2、超常1）将一根绳子对折次后从中间剪一刀，绳子被剪成多少段？【分析】 对折次后被对折成段，因此共被剪成段。【例7】 （超常、超常3）在一块黑板上将反复次得到位数，先删去这个数中从左至右数所有位于奇数位上的数，再删去所得数中所有位于奇数位上的数字，依此类推，最后删去的是哪个数字？【分析】 每次留下的应当是位上的数字，因此最后剩余的是第位数，因此最后删的是。（超常2、超常1）把，这个数均匀排成一种大圆圈，从开始数：隔过划掉，隔过划掉，这样每隔一种数划掉两个数，转圈划下去，问：最后剩余哪个数？【分析】 若正好有个数，则最后剩余的应当是第一种数，因此当划掉个数时，此时剩余的数正好是
13、，接下来的第一种数就应当是最后留下的数，为。【例8】 （超常、超常3、超常2、超常1）（年第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛五年级年级决赛第题）在下面个圆圈中分别填入数字，（已填出）。从开始顺时针走步进入下一种圆圈，这个圆圈中若填（），则从这个圆圈开始顺时针走步进入另一种圆圈。依次下去，走次正好不反复地进入每个圆圈，最后进入的一种圆圈中写。请给出两种填法。【分析】由于从开始一共要走步，最后一种填入的数字是；由于，因此数字在数字的对面；尝试后可得如下填法。【补充】柳卡趣题：在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，合法来自世界各国的许多出名数学家晨宴将近结束的
14、时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰她好久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午均有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，并且都是匀速航行在同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?”问题提出后，果然一时难住了与会的数学家们。尽管为此问题人们进行过广泛的探讨与剧烈的争论，但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题。这个有趣的数学问题，被数学界称为“柳卡趣题”。【分析】 “柳卡问题”也是一类相遇问题。如果设每艘轮船的速度是x海里昼夜，一艘轮船刚与迎面驶来的轮
15、船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程(想一想，为什么)，即为x海里。因此，同下一轮船相遇的时间应是x(x+x)=05(昼夜)，也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘从迎面驶来的轮船。那么，七昼夜一共可以遇到72=14(艘)从对面开来的轮船，加上出港时遇到的一艘，一共15艘轮船。【补充】（年第三届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛四年级第题）图中有个围棋子围成一圈，现将同色的相邻两子之间放入一种白子，在不同色的相邻两子之间放入一种黑子，然后将本来的个棋子拿掉，剩余新放入的个棋子，如图，这算一次操作，如果继续这样操作下去，这一圈的个子中最多有个是黑子。【分析】若要浮现个黑子，则前一次操作时，所有的棋子
