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1、高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图像与性质教师用书 文 北师大版1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图像中，五个核心点是：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图像中，五个核心点是：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数ysin xycos xytan x图像定义域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R单调性在2k，2k(kZ)上是增长的；在2k，2k(kZ)上是减少的在2k，2k(kZ)上是增长的；在2k，2k(kZ)
2、上是减少的在(k，k)(kZ)上是增长的最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ)(k，0) (kZ)(，0)(kZ)对称轴方程xk(kZ)xk(kZ)周期22【知识拓展】1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充
3、要条件是k(kZ)【思考辨析】判断下列结论与否对的(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限是增函数()(2)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(5)ysin |x|是偶函数()(6)若sin x，则x.()1函数f(x)cos(2x)的最小正周期是()A. B C2 D4答案B解析最小正周期为T.故选B.2(教材改编)函数f(x)3sin(2x)在区间0，上的值域为()A， B，3C， D，3答案B解析当x0，时，2x，sin(2x)，1，故3sin(2
4、x)，3，即f(x)的值域为，33函数ytan 2x的定义域是()A. B.C. D.答案D解析由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定义域为.4(开封模拟)已知函数f(x)4sin(2x)，x，0，则f(x)的单调递减区间是()A，B，C，0D，0答案C解析f(x)4sin(2x)4sin(2x)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)因此函数f(x)的递减区间是k，k(kZ)由于x，0，因此函数f(x)的递减区间是，05ysin(x)的图像的对称中心是_答案(k，0)，kZ解析令xk(kZ)，xk (kZ)，ysin(x)的图像的对称中心是(k，0)，kZ.题型一三角函数的定义域和值
5、域例1(1)函数f(x)2tan(2x)的定义域是_(2)(郑州模拟)已知函数f(x)sin(x)，其中x，a，若f(x)的值域是，1，则实数a的取值范畴是_答案(1)x|x，kZ(2)，解析(1)由2xk，kZ，得x，kZ，因此f(x)的定义域为x|x，kZ(2)x，a，x，a，x，时，f(x)的值域为，1，由函数的图像知a，a.思维升华(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域事实上是构造简朴的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解(2)三角函数值域的不同求法运用sin x和cos x的值域直接求；把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；通过换元，转换成二次函
6、数求值域(1)函数ylg(sin x) 的定义域为.(2)函数y2sin() (0x9)的最大值与最小值的和为_答案(1)(2)2解析(1)要使函数故意义必须有即解得2kx2k(kZ)，函数的定义域为.(2)0x9，sin()1，故2sin()2.即函数y2sin()(0x9)的最大值为2，最小值为.最大值与最小值的和为2.题型二三角函数的单调性例2(1)函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范畴是_答案(1)B(2)解析(1)由k2xk(kZ)，得x(kZ)，因此函数f(x)tan的单调递增
7、区间为(kZ)，故选B.(2)由x，0，得x，又ysin x的单调递减区间为2k，2k，因此解得4k2k，kZ.又由4k(2k)0，kZ且2k0，kZ，得k0，因此，引申探究本例(2)中，若已知0，函数f(x)cos(x)在(，)上单调递增，则的取值范畴是_答案，解析函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，kZ，则解得4k2k，kZ，又由4k0，kZ且2k0，kZ，得k1，因此.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简朴化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一种整
8、体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，避免把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后运用集合间的关系求解(1)函数f(x)sin的单调减区间为_(2)若函数f(x)sin x(0)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，则等于()A. B.C2 D3答案(1)，kZ(2)B解析(1)已知函数可化为f(x)sin，欲求函数的单调减区间，只需求f(x)sin的单调增区间由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所给函数的单调减区间为(kZ)(2)f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增长的；当x，即x时，ysin x
9、是减少的由f(x)sin x(0)在上是增长的，在上是减少的，知，.题型三三角函数的周期性、对称性命题点1周期性例3(1)(北京东城区模拟)函数ysin 2xcos2x的最小正周期等于()A B2 C. D.(2)若函数f(x)2tan(kx)的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为_答案(1)A(2)2或3解析(1)ysin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，因此函数的最小正周期T，故选A.(2)由题意得，12，k2k，即k，又kZ，k2或3.命题点2对称性例4对于函数f(x)sin，下列说法对的的是()Af(x)的周期为，且在0,1上是增长的Bf(x)的周期为2，且在0,1上是
10、减少的Cf(x)的周期为，且在1,0上是增长的Df(x)的周期为2，且在1,0上是减少的答案B解析由于f(x)sincos x，则周期T2，在0,1上是减少的，故选B.命题点3对称性的应用例5(1)已知函数y2sin的图像有关点P(x0,0)对称，若x0，则x0_.(2)若函数ycos(x) (N)图像的一种对称中心是(，0)，则的最小值为()A1 B2 C4 D8答案(1)(2)B解析(1)由题意可知2x0k，kZ，故x0，kZ，又x0，k，kZ，k0，则x0.(2)由题意知k (kZ)，6k2(kZ)，又N，min2.思维升华(1)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定通过图像的最高点或最
11、低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检查f(x0)的值进行判断(2)求三角函数周期的措施：运用周期函数的定义运用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(1)(北京朝阳区模拟)已知函数f(x)2sin(x)，若对任意的实数x，总有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值是()A2 B4C D2(2)如果函数y3cos(2x)的图像有关点(，0)中心对称，那么|的最小值为()A. B. C. D.答案(1)A(2)A解析(1)由题意可得|x1x2|的最小值为半个周期，即2.(2)由题意得3cos(2)3cos(2)3cos()0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.5三角函数的性质考点分析纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简朴，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分典例(1)(课标全国)函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，k
