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1、一般高考数学科一轮复习精品学案第23讲 三角函数的图象与性质1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，但凡该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。4由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才干灵活进行图象变换。运用图象的变换作图象时，倡导先平移后伸缩，但先伸缩后平移也常常浮现无论哪种变形，请牢记每一种变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变
2、换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为本来的倍(0)，便得ysin(x)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx的图象上各点的横坐标变为本来的倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得ysin(x)的图象。5由yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象拟定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降状况找准第一种零点的位置。6对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系
3、。7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的原则式，要特别注意A、的正负运用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8求三角函数的周期的常用措施：通过恒等变形化成“、”的形式，在运用周期公式，此外尚有图像法和定义法。9五点法作y=Asin（x+）的简图：五点取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及相应的y值，再描点作图。四典例解析题型1：三角函数的图象例1函数yxcosx的部分图象是（ ）解析：由于函数yxcosx是奇函数，它的图象有关原点对称，因此排除A、C，当x（0，）时，yxcosx0。答案为D。例2函数y=x+sin|x|，x，的大体图象是（ ）解
4、析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x，为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。点评：运用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有助于掌握函数的图象与性质，又能纯熟地运用数形结合的思想措施。题型2：三角函数图象的变换例3试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。解析：y=sin（2x+）另法答案：（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为本来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为本来的3倍（横坐标不变），即可得到y=
5、sinx的图象。例4把曲线ycosx+2y1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A（1y）sinx+2y3=0 B（y1）sinx+2y3=0C（y+1）sinx+2y+1=0 D(y+1)sinx+2y+1=0解析：将原方程整顿为：y=，由于要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=1为所求方程.整顿得（y+1）sinx+2y+1=0.点评：本题考察了曲线平移的基本措施及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x）+2（y+1）1=0，即得C选项。题型3：三角函数图象的应用例5已知电流I与时间t的关系式
6、为。（）右图是（0，）在一种周期内的图象，根据图中数据求的解析式；（）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能获得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？ 解析:本小题重要考察三角函数的图象与性质等基本知识，考察运算能力和逻辑推理能力（）由图可知 A300。设t1，t2， 则周期T2（t2t1）2（）。 150。又当t时，I0，即sin（150）0，而， 。故所求的解析式为。（）依题意，周期T，即，（0） 300942，又N*，故最小正整数943。点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。图例6（1）已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，
7、xR）在一种周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。解析：根据图象得A=2，T=（）=4，=，y=2sin（+），又由图象可得相位移为，=，=.即y=2sin（x+）。根据条件=2sin（），=2k+(kZ)或=2k+（kZ），x=4k+（kZ）或x=4k+（kZ）。所有交点坐标为（4k+）或（4k+）（kZ）。点评：本题重要考察三角函数的基本知识，考察逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。（2）在（0，2）内，使sinxcosx成立的x取值范畴为（ ）A（，）（，） B（，）C（，） D（，）（，）解析：C；解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两
8、交点的横坐标和，由图1可得C答案。图1 图2解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C。（如图2）题型4：三角函数的定义域、值域例7（1）已知f（x）的定义域为0，1，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0cosx1，（2）要使sin（cosx）0，这里的cosx以它的值充当角。解析：（1）0cosx12kx2k+，且x2k（kZ）。所求函数的定义域为xx2k，2k+且x2k，kZ。（2）由sin（cosx）02kcosx2k+（kZ）。又1cosx1，0cosx1。故所求定义域为xx（2k，2k+）
9、，kZ。点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的措施有二：一是图象，二是三角函数线。例8已知函数f（x）=，求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。解析：由cos2x0得2xk+，解得x，kZ，因此f（x）的定义域为x|xR且x，kZ，由于f（x）的定义域有关原点对称，且f（x）=f（x）。因此f（x）是偶函数。又当x（kZ）时，f（x）=。因此f（x）的值域为y|1y或y2。点评：本题重要考察三角函数的基本知识，考察逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。题型5：三角函数的单调性例9求下列函数的单调区间：（1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）。分析：（1）要将原函数化为y
10、=sin（x）再求之。（2）可画出y=|sin（x+）|的图象。解：（1）y=sin（）=sin（）。故由2k2k+。3kx3k+（kZ），为单调减区间；由2k+2k+。3k+x3k+（kZ），为单调增区间。递减区间为3k，3k+，递增区间为3k+，3k+（kZ）。（2）y=|sin（x+）|的图象的增区间为k+，k+，减区间为k，k+。例10函数y=2sinx的单调增区间是（ ）A2k，2k（kZ）B2k，2k（kZ）C2k，2k（kZ）D2k，2k（kZ）解析：A；函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx的单调增区间。题型6：三角函数的奇偶性例11判断
11、下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）。分析：判断奇偶性一方面应看定义域与否有关原点对称，然后再看f（x）与f（x）的关系。解析：定义域为R，又f（x）+f（x）=lg1=0，即f（x）=f（x），f（x）为奇函数。点评：定义域有关原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充足）条件。例12有关x的函数f（x）=sin（x+）有如下命题：对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；存在，使f（x）是奇函数；对任意的，f（x）都不是偶函数。其中一种假命题的序号是_.由于当=_时，该命题的结论不成立。答案：，k（kZ）；或者，+k（kZ）；或者，+k（kZ）解析
12、：当=2k，kZ时，f（x）=sinx是奇函数。当=2（k+1），kZ时f（x）=sinx仍是奇函数。当=2k+，kZ时，f（x）=cosx，或当=2k，kZ时，f（x）=cosx，f（x）都是偶函数.因此和都是对的的。无论为什么值都不能使f（x）恒等于零。因此f（x）不能既是奇函数又是偶函数。和都是假命题。点评：本题考察三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意kZ不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才干得分。题型7：三角函数的周期性例13求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为什么值时，y有最大值。分析：将原函数化成y=Asin（x+）+B的形式，即可
13、求解。解析：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4xsin2xcos2x+cos4x）=13sin2xcos2x=1sin22x=cos4x+。T=。当cos4x=1，即x=（kZ）时，ymax=1。例14设的周期，最大值，（1）求、的值；（2）。解析：(1) ， ， ，又 的最大值。， ，且 ，由 、解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 ， 。点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想措施；在解题时不要忘掉三角函数的周期性。题型8：三角函数的最值例15设M和m分别表达函数y=cosx1的最大值和最小值，则M+m等于（ ）A B C D2解析：D；由于函数g（x）=cosx的最大值、最小值分别为1和1。因此y=cosx1的最大值、最小值为和。因此M+m=2。例16函数y的最大值是（ ）A1 B1 C1 D1解析：B；。五思维总结1数形结合是数学中重要的思想措施，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，诸多函数的性质都是通过观测图象而得到的。2作函数的图象时，一方面要拟定函
