《抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程.（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线 y 22 px (p0) 的焦点 F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 两点结论 1：ABx1x2pABAFBF(x1p) ( x2p ) x1x2p222 p结论 2：若直线L 的倾斜角为，则弦长 ABsin 2证 :(1)若2时 ,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径 ,AB2 p 结论得证p ) tanp(2) 若时 ,设直线L 的方程为： y (x即 xycot代入抛物线方程得222y22 pycotp20由韦达定理 y1 y2p2 , y1y22 p cot由弦长公式得AB1co
2、t 2y1y22p(1cot 2 )2 p结论 3： 过焦点的弦中通径长最小sin 2sin 212 p2 pAB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短 .sin 2结论 4：S2oABp3(为定值 )AB8S OABS OBFS 0AF1 OFBFs i n1 OFAFsi n22p 21OFAFBF1OFABs i n1p2ps i n2s i n2222 si n2s i nS2OABP3AB8结论 5： (1)y1 y2p2(2) x 1x2=p 2422( y1 y2 ) 2P 2证 x1y1, x2y2, x1 x22 p4P 242 p结论 6：以 AB 为直径的圆与
3、抛物线的准线相切证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线AA 1， 过 B 点作准线的垂线 BB 1，过 M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM 1AA1BB1AFBFAB故结论得证222结论 7：连接 A1F、 B1 F 则 A 1F B1FAA1AF ,AA1 FAFA1AA1 / OFAA1FA1 FOA1 FOA1FA同理B1 FOB1 FBA1 FB19011AF BF结论 8：（ 1） AM 1BM 1（2）M 1F AB2AF BF（3） M 1F（4）设 AM 1 与 A1F 相交于 H ，M 1B 与 FB 1相交于 Q 则 M 1，
4、Q，F ，H 四点共圆（5） AM 1222M1B4M1M证：由结论（6）知 M1在以 AB 为直径的圆上AM 1BM 1A1 FB1 为直角三角形，M1 是斜边 A1 B1的中点A1M 1M 1FM1FA1M1A1FAA1 FAFA1AA1 FFA1M 1AA1M190AFA1A1FM 190M 1FABM 1 F2AF BFAM 1BM 1AM1B 90 又 A1F B1FA 1FB190所以 M 1，Q， F,H 四点共圆， AM 1222M 1 BABAFBF 2AA1BB22 MM124 MM121结论 9： （ 1） A、O 、B1三点共线（ 2）B，O，A1三点共线（ 3）设直线
5、 AO 与抛物线的准线的交点为B1，则 BB1 平行于 X 轴（ 4）设直线 BO 与抛物线的准线的交点为A1，则 AA 1平行于 X 轴证：因为 koAy1y12 p ,koBy22 y2 ，而 y1 y2p2x12y11ppy12 p2所以 koA2 p2 y2koB所以三点共线。同理可征（2）（ 3）（4）p2p1y2结论 10：112FAFBp证：过A 点作 AR 垂直 X 轴于点R，过B 点作 BS 垂直 X 轴于点S，设准线与x 轴交点为E,因为直线 L的倾斜角为则 EREFFRPAF cosAFAFP11cos1 cosAFP同理可得11cos112PFAFBpBF结论 11：A
6、FAE(1)线段EF 平分角(3) K AEK BE0PEQ (2)BEBF(4)当时 AEBE,当2时 AE不垂直于 BE2证 :BB1 / EF / AA1B1EBFBFB1B , FAA1 AB1 EB1 BEA1FAEA1A1 AAA1 EBB1 E90A1EA相似于 B1 EBA1EA B1EBAEF A 1 EA BEF B1 EB90AEF BEF即EF平分角 PEQAFAEK AEK BE0BF直线 AE 和直线 BE关于 X 轴对称BE(4) 当时， AF EF FBAEB 902当时，设直线 L的方程为 ykx - p 将其代入方程 y22 p x22得 k 2 x 2 - p(k 22)xk 2 p20 设 A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) 则 x 1x 2p k 224k 2p 2假设 AEBE则 K AE K BE1y 1y21x1x2=pp4x1x222即 y1 y 2- x 1px 2pk x1- pk x 2- p- x 1px 2p
