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1、一单项选择题(本大题共5小题; 一、单选题本大题共5小题，每题2分，共10分在每题列出的四个备选项中只有一个是合乎题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。 1设f(x)=lnx，且函数(x)的反函数1(x)=A.ln2(x+1)，那么f(x) x-1x-2x+22-xx+2 B.lnC.lnD.lnx+2x-2x+22-x0txe2limx0et2dt1cosx D A0 B1C-13设yf(x0x)f(x0)且函数f(x)在xx0处可导，那么必有A.limy0B.y0C.dy0D.ydyx02x2,x14设函数f(x)=，那么f(x)在点x=1处 3x1,x1A
2、.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导 5设xf(x)dx=e-xC，那么f(x)= A.xe-x B.-xe-x C.2e-x D.-2e-x二、填空题本大题共10小题，每空3分，共30分 请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间0，1上有定义，那么函数f(x+222227limaaqaq2n11)+f(x-)的定义域是_. 44aqnq1_8limarctanx_xxg29.已知某产品产量为g时，总本钱是C(g)=9+，那么生产100件产品时的边际本钱MCg100_80010.函数f(x)x32x在区间0，1上满足拉格朗日中值定理的点
3、是_. 11.函数y2x39x212x9的单调减少区间是_.12.微分方程xyy1x的通解是_. 13.设32ln2e16cos2x14.设z那么dz=_. yatdt,那么a_.15.设D(x,y)0x1,0y1，那么2yxedxdy_. D三、计算题一本大题共5小题，每题5分，共25分 116.设y，求dy.x17.求极限limlncotxx0lnx18.求不定积分x5x1a01ln5x1dx.19.计算定积分I=a2x2dx.20.设方程x2y2xzez1确定隐函数z=z(x,y)，求zx,zy。 四、计算题二本大题共3小题，每题7分，共21分21要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形
4、的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？22.计算定积分xsin2xdx023.将二次积分Idx0siny2xydy化为先对x积分的二次积分并计算其值。五、应用题此题9分 24.已知曲线yx2，求1曲线上当x=1时的切线方程；2求曲线yx与此切线及x轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx. 六、证明题此题5分25证明：当x0时，xln(x1x2)1x212参考答案一、单选题本大题共5小题，每题2分，共10分1答案：B2答案：A3答案：A 4答案：C 5答案：D二、填空题本大题共10小题，每空3分，共30分 13a7答案：1q6答案：,448答案：019答案：41
5、10答案： 311答案：1，2x31Cx 12答案：213答案：aln21cos2x14答案：sin2xdxdyyy1215答案：1e4三、计算题一本大题共5小题，每题5分，共25分x116. 答案：lnx1dxx17答案：-1 18答案：19. 答案：2ln5x1C 52a 4x2xy2zx2，Zy20. 答案：Z zz2xe2xe四、计算题二本大题共3小题，每题7分，共21分21答案：r03VV4V3 ，h02r02222答案：423. 答案：1 五、应用题此题9分 24. 答案：1y=2x-1211， 123011y123122所求面积S(y)dyy1y20230124所求体积Vx六、证
6、明题此题5分 25证明：12221xdx1 03256301f(x)xln(x1x2)1x212x12x21x2f(x)ln(x1x)xx1x21x2xxln(x1x2)1x21x2ln(x1x2)x0x1x21f(x)ln(x1x2)0故当x0时f(x)单调递增，那么f(x)f(0),即 xln(x1x2)1x21三解答题 (每题7分 共28分)2x3x4x1)x 16 计算lim(x03解原式=limex012x3x4xlnx3ex0limln2x3x4xln3xex0limA2xln23xln34xln4ln2ln3ln43limAlimln24xxxx0x02343 原式=324233
7、x2sint1dt，求xf(x)dx 17设f(x)10t2xsinx22sinx2解显然f(1)0,f(x) x2x111121122xf(x)xf(x)dx原式= f(x)dx000222 111111222212xsinxdxsinxdxcosxcos110002222w2w18设wfx2y3z,xyz，f具有二阶连续偏导数，求 ,xxy解 令ux2y3z,vxyz，那么wwuwvf1f2yzxuxvxf22wf1zy1zf22f11f12xzzy2f21f22xzzf2 xyyy2f11x2yzf12xyz2f22zf219求摆线解xsin,()的弧长Ly1cos22Lxyd1cos2
8、sin2d2021cosd430sind8cos8220四 综合题共18分20修建一个容积等于108m的无盖长方体蓄水池，应如何选择水池长、宽、高尺寸，才使它的外表积最小，并求出它的最小外表积。解 设水池长、宽、高分别为x,y,z m,那么问题是在条件x,y,zxyz108 下，求函数 Sxy2yz2zxx0,y0,z0的最小值，作Lagrange函数Lx,y,zxy2yz2zxxyz108Lxy2zyz0Lx2yxz0y解方程组 Lz2x2yxy0xyz108得唯一可能极值点 6,6,3，由实际问题知外表积最小值存在，所以在长为6m,宽为6m，高为3m时，外表积最小,最小值为108m .2121、假设f(x)在0,1上连续，在0,1内有二阶导数，求证1存在0,12，使f(1)2f(12)f(0)f(12)f()/2 2存在0,1，使f(1)2f(12)f(0)f()/4 证明 1设Fxf(x12)f(x)2x0,12，那么F(x)在0,12上满足Lagrage中值定理条件，所以，存在0,12，使F12F(0)F()/2f(1)f(12)f(12)f(0)f(1)2f(12)f(0)f(12)f()/22由已知还有，f(x)在,120,1内可导，再次用Lagrage中值定理 所以，存在,120,1，使f(12)f()f()/2结合1有
