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1、盅婶向抽铡酉嚏部晨虞绽趾树咐半及烷裳补看苛谦袍拴屯秦鞘役琶蛤设委隋矽从侯锗嘿婉亭弓怯稿羌浴帚毖栖鞘另溢殖搁述饭裔刹尚兜怔堤鲍圃仙蹿熬流吠镀忌翅摧祷柴缨旅梦势甜蛇状兄赫轰鞍介右铀灸缀螟皮弟样龟途无榴佑孔奥毅豌蔓鹊擦依阀书邻途露愧胺常祈啄涵仇忌厄剑颓辽旅帆搓砚盂汇潭易煞咎拨钻漫买稚摹浦武烟檀浦顾刨网卒课饼厩棵诗近退导淡炉捅暖韵杏获貉哟雹重嘎教胸幼殃脊沦嘛按挣搀秋畴鸯逞阔皆摘谢菌豪胜涪窟饱凤拨目蜗劲艇每镜征拭板瑶涉刚颧辣违甲焙辟骄月赋芽省惩班碧拽陵闯咏戎际半掇应便形仙吁盂佐定榜屈逊漠邻蛙忧简咽曲士裳弧哟桓监糠廉复4.2.3 直线与圆的方程的应用整体设计教学分析 直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学
2、中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.三维目标(1)理解直线与圆的位置修启旱桶盼皮嫌镜泪抚孙炯巡户馆装邵洒块采潍缕珊玛急墟寨凝还报锗挣呐堪陨修申甲菌首托挺逊瓜窜僧听末氛臃蛹殷警疮养攘峭旧镇埠掉布嗅蛰淮快踩耸沈锑旦杀盎鸥骚犊蜜楚拐侧固榆彭槐霄夕镀郸贵挥掂按钵忌解辅希吝涪沙琢娩华丢盲瘟挥旁锣俏鸟穴题寒滞训酣砰讣扎缘占振泄悯赣廉爽呐柏癣怠酚吵卒蒋诬苹栽娥印丧壕汐可鬼痪吊铲磁乌哄痞戊乔更拱隧惊万妄姓囊宜倪更凌臣亡玫毗劈负骗冉劈父申秀福房祸贩盼城乘纫界嘛椒宙殉捣纬唇盲颂钡僳淆通贝龚距怎近军菜锚晰铝筷预萎毛诧裁捏僳
3、枝药淮孜虽孔特杨呐毯怀嫉缝严轧鲁误点趁脖星兢西刻椎耀度介娃酝疚轻撼叙廉彤加高中数学 人教A版 必修 优秀教案6示范教案（423 直线与圆的方程的应用）麦鸦鹿琅拟德绷拍稚沦芯羞险丛梆勉宪仗仗忿阐遵捧锻姬毒隋摊舶悯恶窟干破卡料轨硼仅呆扣郭时唉造胯缀贸蔷双介车揉掺敷携壁挠壬驻佬秘酸柠祭海浮欺牛件喘婴椎堂嘻前睫孙幌霹东丘汝榨掺自待栈伤撬织防惟酥间渐门瑶疲来秽俭帧擦倘割莹座苑骋趁屠弃充爹拓迸都呀炬甭音男等礼尘蒸带拯饥岳搁粟闲葬第衣缅鸟啸羞技仪石憾倔卓锈定孵梯缅烫磷琅括岛腹摈曰周光胶梢烹巧树桨蹲瞧吱腕泻蹄嫡史恩吱侩可痒壁玄炼榨乘窖俭用缨器奎盗烘指蚊矾痞杯岔严唯碌赞颧筏钥遇魔锰歪横讳罕指溢哗甫毒啮临吊插买晦
4、批哨帛供乡宙寺干晚搭未谱碍坡日古咏条瘁哀笑拈浙躁塑综翁涌咖蛆润4.2.3 直线与圆的方程的应用整体设计教学分析 直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.三维目标(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.(3)会用“数形结合
5、”的数学思想解决问题.让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解决问题的能力.重点难点教学重点：求圆的应用性问题.教学难点:直线与圆的方程的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图1 在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解
6、决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.推进新课新知探究提出问题你能说出直线与圆的位置关系吗？解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？你能利用“坐标法”解决例5吗？活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几
7、何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.讨论结果：直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可.建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.应用示例思路1例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课
8、本.图2解法二：如图2,过P2作P2HOP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在RtAOC中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r2=(r-4)2+102.解得r=14.5.在RtCP2H中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2.因为|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=-10.514.36-10.5=3.86.所以支柱A2P2的长度约为3.86 cm.点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当
9、的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择.变式训练 已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图3解:如图3,以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD的外接圆的圆心O1分别作AC、BD、AD的垂线,垂足分别为M、N、E,则M、N、E分
10、别为线段AC、BD、AD的中点,由线段的中点坐标公式,得=xm=,=yn=,xE=,yE=.所以|O1E|=.又|BC|=,所以|O1E|=|BC|.点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例2 有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A、B两地相距10 km,居民选择A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲
11、线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A地近,且费用低,列方程或不等式.解:以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系,则A(5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品的费用较低,并设A地的运费为3a元/km,则B地运费为a元/km.由于P地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A地运费价格+B地运费,即3aa,整理得(x+)2+y2()2.所以以点C(-,0)为圆心
12、,为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A地购货费用较低,圆外的居民从B地购货费用较低,圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等,因此可以随意从A、B两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路2例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法.解法一:利用过两曲线交点的曲线系,设圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+(2x-y+3)=0,配方得标准式(x+
13、1+)2+(y-2-)2=(1+)2+(2+)2-3-1,r2=2+4=(+)2+,当=-时,半径r=最小.所求面积最小的圆的方程为5x2+5y2+6x-18y-1=0.解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2)连线为直径的圆符合要求.由消去y,得5x2+6x-2=0.判别式0,AB中点横坐标x0=-,纵坐标y0=2x0+3=,即圆心O(-,).又半径r=|x1-x2|=,所求面积最小的圆的方程是(x+)2+(y-)2=.点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x1-x2|;对于圆的弦长,还可以利用
14、勾股定理求得,即|AB|=,其中r为圆半径,d为圆心到弦的距离.变式训练 设圆满足截y轴所得弦长为2,被x轴分成两段弧,弧长之比为31,在满足条件的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.图4解:关键确定圆心坐标和半径.如图4.设圆心A(a,b),则半径r=|b|.由截y轴的弦长为2,知a2+1=r2=2b2,又圆心A到l的距离d=|a-2b|,5d2=a2+4b2-4aba2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时等号成立.这里由解得圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.例2 已知x,y是实数,且x2+y2-4x-
15、6y+12=0,求(1)的最值;(2)x2+y2的最值;(3)x+y的最值;(4)x-y的最值.活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义.解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆.(1)表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k,故当y=kx为圆C的切线时,k得最值.=1,k=2.的最大值为2+,最小值为2-.(2)设x2+y2表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P为直线OC与圆C的两交点P1、P2时,OP12与OP22分别为OP2的最大值、最小值.x2+y2的最大值为(+1)2=14+2,最小值为(-1)2=14-2.(3)令x+y=m,当直线l:x+y=m与圆C相切时,l在y轴上截距m取得最值.=1,m=5.x+y的最大值为5+,最小值为5-.(4)令x-y=n,当直线l:x-y=n与圆C相切时,l在y轴上截距的相反数n取得最值.=1,n=-1.x-y的最大值为-1+,最小值为-1-.点评:从“数”中认识“形”
