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1、习题课导数的应用学习目标1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用1函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递增f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值3函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.类型一构造法的应用例1已知定义在上的函
2、数f(x)，f(x)是它的导函数，且sin xf(x)cos xf(x)恒成立，则()A.ff B.ffC.f2f D.ff(x)cos x，得f(x)sin xf(x)cos x0，构造函数g(x)，则g(x).当x时，g(x)0，即函数g(x)在上单调递增，gg，ff，故选D.反思与感悟用构造法比较函数值的大小关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小跟踪训练1已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，f(x)0，若af，bf，cf，则a，b，c的大小关系是()Aacb BbcaCabc Dcab考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案B解析令g(x
3、)xf(x)，则g(x)xf(x)xf(x)，g(x)是偶函数g(x)f(x)xf(x)，f(x)0时，xf(x)f(x)0，当x0.g(x)在(0，)上是减函数ln 21，g()g(ln 2)g.g(x)是偶函数，g()g()，gg(ln 2)，g()gf(x)，且f(0)2，则不等式f(x)f(x)，g(x)0，即函数g(x)在R上单调递减f(0)2，g(0)f(0)2，则不等式等价于g(x)0，不等式的解集为(0，)，故选C.反思与感悟构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围跟踪训练2已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)1，且对任意的xR都有f(x)的解集为_考点利用导
4、数研究函数的单调性题点构造法的应用答案(0,10)解析f(x)，f(x)，得f(lg x)0，F(lg x)F(1)F(x)在R上单调递减，lg x1，0x0)当a0时，f(x)0时，令g(x)ax22xa，函数f(x)在区间1，)上是单调函数，g(x)0在区间1，)上恒成立，a在区间1，)上恒成立令u(x)，x1，)u(x)1，当且仅当x1时取等号a1.当a1时，函数f(x)单调递增实数a的取值范围是(，01，)(2)由(1)可知：当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a1时，此时函数f(x)在(0，)上单调递增当0a0)，f(x)2x4，令f(x)0，解得x或x，令f(
5、x)0，解得xg(x)；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由考点导数在最值中的应用题点已知最值求参数(1)解当a1时，f(x)2xln(2x)，f(x)2，x(0，e，当0x时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当x0，此时f(x)单调递增所以f(x)的极小值为f1，故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，f(x)的极小值为f1，无极大值(2)证明令h(x)g(x)，h(x)，x(0，e，当0x0，此时h(x)单调递增，所以h(x)maxh(e)g(x).(3)解假设存在实数a，使f(x)2axln(2x)，x(0，e有最小值3，f(x)2
6、a，x(0，e，当a0时，因为x(0，e，所以f(x)0，f(x)在(0，e上单调递减，所以f(x)minf(e)2aeln(2e)3，解得a(舍去)，当0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf1ln3，解得ae2，满足条件，当e，即0a时，f(x)1，当0x0；当1xc时，f(x)c时，f(x)0.f(x)的单调递增区间为(0,1)，(c，)；单调递减区间为(1，c)(2)若c0，则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，函数f(x)恰有两个零点，则f(1)0，即b0，c0；若0c1，则f(x)极大值f(c)cln cc2bc，f(x)极小值f(1)b，b
7、1c，则f(x)极大值cln cc2c(1c)cln ccc21，则f(x)极小值f(c)cln cc2c(1c)cln ccc20，f(x)极大值f(1)c，从而得f(x)只有一个零点综上，使f(x)恰有两个零点的c的取值范围为.1已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()A. B.C. D.考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案C解析由题意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0，可得1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以函数的解析式为f(x)x33x22x.f(x)3x26x2，由方程3x26x20，可得x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)2
8、2x1x242.2已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有()Abf(b)af(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案A解析设g(x)xf(x)，x(0，)，则g(x)xf(x)f(x)0，g(x)在区间(0，)上单调递减或g(x)为常函数ab，g(a)g(b)，即af(a)bf(b)，故选A.3已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则m的取值范围是_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案解
