数列综合练习（一）1．等比数列前n项和公式：(1)公式：Sn＝.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽视q＝1的状况．2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的措施叫错位相减法．一般合用于求一种等差数列与一种等比数列相应项积的前n项和．4．拆项成差求和常常用到下列拆项公式：(1)＝－； 一、选择题1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )A．11 B．5C．－8 D．－11答案 D解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )A．－3 B．5C．－31 D．33答案 D解析 由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，∴q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )A．2 B．4C. D.答案 C解析 措施一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，得＝＋1＋q＋q2＝.措施二 S4＝，a2＝a1q，∴＝＝.4．设{an}是由正数构成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )A. B.C. D.答案 B解析 ∵{an}是由正数构成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4.∴S5＝＝8(1－)＝.5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为( )A．0 B．1 C．－1 D．2答案 C解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)＝3n－3n－1＝2·3n－1.由题意知{an}为等比数列，因此a1＝3＋k＝2，∴k＝－1.6．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )A．514 B．513 C．512 D．510答案 D解析 由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，得方程组，解得或.∵q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝＝29－2＝510.二、填空题7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.答案 －解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.答案 3解析 S6＝4S3⇒＝⇒q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)．∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．答案 10解析 Sn＝，∴－341＝，∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，∴n＝10.10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.答案 2n－1解析 当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，∴an＝2n－1，n∈N*.三、解答题11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.解 ∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组得① 或②将①代入Sn＝，可得q＝，由an＝a1qn－1可解得n＝6.将②代入Sn＝，可得q＝2，由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.12．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝54，S2n＝60，求S3n.解 措施一 由题意Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，∴62＝54(S3n－60)，∴S3n＝.措施二 由题意得a≠1，∴Sn＝＝54 ①S2n＝＝60 ②由②÷①得1＋qn＝， ∴qn＝，∴＝， ∴S3n＝＝(1－)＝.13．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解 (1)由题意，Sn＝2n＋2－4，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N*.(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1，∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1， ①2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2. ②②－①得，Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2＝－23－＋(n＋1)·2n＋2 ＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1 ＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.14．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.解 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由于a3＝7，a5＋a7＝26，因此解得因此an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.因此，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.(2)由(1)知an＝2n＋1，因此bn＝＝＝·＝·，因此Tn＝·(1－＋－＋…＋－)＝·(1－)＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝.15．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解 (1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，因此数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1， ①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1. ②①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．16．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于( )A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n答案 A解析 ∵an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－ln n.又a1＝2，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n－ln 1＝2＋ln n.17．已知正项数列{an}的前n项和Sn＝(an＋1)2，求{an}的通项公式．解 当n＝1时，a1＝S1，因此a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝(a－a＋2an－2an－1)，∴a－a－2(an＋an－1)＝0，∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an＋an－1>0，∴an－an－1－2＝0.∴an－an－1＝2.∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.18．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和．(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1两边乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.19．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)当bn＝log(3an＋1)时，求证：数列{}的前n项和Tn＝.(1)解 由已知(n≥2)，得an＋1＝an(n≥2)．∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．又a2＝S1＝a1＝，∴an＝a2×()n－2(n≥2)．∴an＝(2)证明 bn＝log(3an＋1)＝log[×()n－1]＝n.∴＝＝－.∴Tn＝＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.。