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1、6求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置；长方体正方体的对角线是其外接球的直径；将多面体补成长方体正方体是研究多面体外接球的常用的办法.举例1 三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ABBC,若PA=AC=,则该三棱锥的外接球的体积是.解析：思路一：找球心到三棱锥ACPBABCP四个顶点距离相等等的点.注意到PC是RtPAC和RtPBC的公共的斜边,记它的中点为O,则OA=OB=OP=OC=PC=1,即该三棱锥的外接球球心为O,半径为1,故它的体积为：ABCDPOO1方法二：补体,将三棱锥补成长方体,如图所示；它的对角线PC是其外接球的直径.举例2正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上,若
2、该正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为,则这个球的表面积为.解析：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,PO=AO=R,PO1=4,OO1=R-4,或OO1=4-R此时O在PO1的延长线上,在RtAO1O中,R2=8+2得R=3,球的表面积S=36巩固1 如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4和3,那么它的外接球的体积是 .巩固2一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是： 07高考陕西理6 A 迁移点P在直径为2的球面上,过P两两垂直的3条弦,若其中一条弦长是另一条的2倍,则这3条弦长之和的最大值是.
3、8球的内接正多面体和外切正多面体的中心均为球心.球的内接长方体的体对角线是球的直径,球的外切正方体的边长是球的直径,与边长为a的正方体各条棱都相切的球的直径为a；边长为a的正四面体的内切球的半径为正四面体高的,外接球的半径为.举例已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O,经过该棱锥A-BCD三侧棱中点的截面为,则O到平面的距离为.解析：记棱锥A-BCD的高为AO1,O在AO1上且OO1=AO1；AO1与面交于M,则MO1=AO1,故MO= OO1=AO1=1巩固1P在面ABC上的射影为O,则OA=OB=OC=OP=R,=10,故选B；巩固2；2、巩固450；3、巩固11：2；巩固2B；4、巩固
4、；5、巩固3：16；6、巩固1 ,巩固2C, 迁移设三条弦长分别为x,2x,y,则：x2+2+y2=4,用椭圆的参数方程求3x+y的最大值为；7、巩固 B；8、巩固 C四面体外接球的球心、半径求法 在立体几何中,几何体外接球是一个常考的知识点,对于学生来说这是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形的情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径是多少而无法解题.本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题.一、 出现墙角结构利用补形知识,联系长方体.原理：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体的外接球直径为体对角线长 即例题：在四面体中,共顶点的三条棱两两垂
5、直,其长度分别为,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积.解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即： 所以球的表面积为二、 出现两个垂直关系,利用直角三角形结论.原理：直角三角形斜边中线等于斜边一半.球心为直角三角形斜边中点.例题：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,且,求球的体积.解：且, 因为 所以知所以 所以可得图形为：在中斜边为在中斜边为取斜边的中点,在中在中所以在几何体中,即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为总结斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线.三、 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解例题
6、：已知在三棱锥中,求该棱锥的外接球半径.解：由已知建立空间直角坐标系由平面知识得 设球心坐标为 则,由空间两点间距离公式知解得 所以半径为结论：空间两点间距离公式：四、 四面体是正四面体 外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点, 根据勾股定理知,假设正四面体的边长为时,它的外接球半径为.5一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为A.B.C4D2解析根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥DABC,其中平面ADC平面ABC,ADC为等边三角形取AC的中点为E,连接DE、BE,则有DEAC,所以DE平面ABC,所以DEEB.由图中数据知AEECEB
7、1,DE,AD2DCDB,ABBC,AC2.设此三棱锥的外接球的球心为O,则它落在高线DE上,连接OA,则有AO2AE2OE21OE2,AOBODEOEOE,所以AO,故球O的半径为,故所求几何体的外接球的表面积S42,故选B.答案B2012广州模拟一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为_答案：解析：正六棱柱的侧棱长h,球心在六棱柱的最长体对角线上,球的直径、正棱柱的侧棱、底面正六边形的最长对角线构成直角三角形,2R2,R1,V球13.3. 2012#模拟如图为一个几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为A. 4B. 8C. 12D. 16答案：C解析：由几何体的三视图知该几何体为一个底面是正方形,有一条侧棱与底面垂直的四棱锥,由已知数据可求得该几何体外接球的半径R,所以S4R212,故选C.5 / 5
