微分流形课程基本内容一、 流形的基本概念：流形的定义和基本例子，子流形，切空间和切丛，光滑 函数、光滑映射及切映射要求了解球面、环面、射影空间等基本例子，并了解 一维、二维流形的分类要求了解浸入(immersion)、嵌入(embedding)、淹 没(submersion)和微分同胚的概念二、正则性、奇异性及其应用：正则点和正则值，临界点和临界值，Sard定理, Morse引理，Thom横截性定理要求了解映射度的概念，并能运用正则值的概念 验证某些空间是流形三、光滑向量场和可积性定理：光滑向量场及其奇点的定义，Lie括号，积分 曲线和动力系统， Euler-Poincare 公式， Frobenius 可积性定理四、Lie群和Lie群作用初步：Lie群和Lie代数的定义和基本例子，单参数 子群，指数映射，Lie群在流形上的作用，基本向量场，齐性空间等要求能够 验证一些常见的矩阵群为Lie群并计算它们的Lie代数，并对一些低维Lie群的 流形结构较为熟悉要求能将一些常见流形写成齐性流形五、 微分形式和积分：微分形式和外积的定义和性质，外微分，内积， Lie 导 数， Cartan 公式， deRham 上同调， Poincare 对偶， Laplace 算子， Hodge 理论 初步，定向和微分形式的积分，带边流形和 Stokes 定理。
要求掌握单位分解的 技巧，要求了解外微分和 Stokes 定理的古典形式要求能够计算常见流形和二 维流形的上同调环六、Riemann 几何初步：Riemann 度量，Levi-Civi ta 联络，Chris to ffel 符号, Rieman曲率，截曲率，常截曲率流形的模型要求能够从给定的Riemann度量 计算Riemann曲率要求对向量丛的概念和张量运算较为熟悉微分流形课程预备知识最基本要求：多元微积分，线性代数，常微分方程需要用到：点集拓扑学，抽象代数，复变函数论，曲线曲面的微分几何微分流形相关课程和后续课程微分流形参考书目•第一节，微分流形概念的引入：Riemann在哥廷根大学讲演的英译本可见M.Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. II.,Publish or Perish, Berkeley, 1979.• 第二节，关于 Morse 理论， 可参看J. Milnor, Morse theory.•第三节，引进tangen tspace和1-form时采用了代数几何中的做法，可参看 R. Hartshorne, Algebraic geometry.其中用到局部化等代数方法， 可参看M.Atiyah and I.G.Mcdonald, Commutative Algebra.• 第四节、第五节，可参看Brocker and Janich, Introduction to differential topology. 关于 Frobenius integrablity theorem , 可参看F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups.• 第六节、第七节，可参看F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups.• 第八节，可参看微分流形的知识为进一步学习现代数学和物理提供了准备知识。
这里列出一些研 究方向用到微分流形的部分课程• 对 Riemann 几何、几何分析感兴趣的： Riemann 几何，极小子流形，调和映 照， Hodge 理论• 对表示论感兴趣的： Lie 群及其表示，代数拓扑，代数几何• 对流形的拓扑感兴趣的：微分拓扑，代数拓扑， Morse 理论，示性类理论， Lie 群及其表示，联络理论， Chern-Weil 理论，等变上同调理论• 对指标理论感兴趣的：代数拓扑，联络理论， Chern-Weil 理论，指标理论 •对可积系统感兴趣的：Riemann面，联络理论，辛几何，椭圆函数• 对动力系统感兴趣的：辛几何， Morse 理论•对复几何、代数几何、代数数论感兴趣的：Riemann面，复流形，形变理论, 复曲面，代数拓扑，联络理论，Chern-Weil理论，指标理论，椭圆函数，模 形式，Lie群及其表示• 对低维拓扑学感兴趣的：以上全部• 对超弦理论感兴趣的：以上全部微分几何学历史简介我们借用杨振宁先生的以下诗句来开始对几何学的一个简介：天衣岂无缝，匠心剪接成浑然归一体，广邃妙绝伦造化爱几何，四力纤维能千古寸心事，欧高黎嘉陈最后一句诗提到了五位伟大的几何学家：Euclid, Gauss, Riemann, Car tan,和 陈省身。
其中，Euclid为古希腊人,Gauss和Riemann为十九世纪德国人,Car tan 为二十世纪法国人陈省身先生二十世纪三十年代在清华大学数学系读硕士， 抗日战争中在西南联大任教授，现定居于南开大学下文参考了他写的“九十初 度说数学”几何是geometry的音译其词头geo是“土地”的意思，词尾metry是“测量 学”的意思, 合起来是“土地测量学”的意思这反映了几何学起源于实际问 题Euclid写了一本书“Elements”，中文译名为“几何原本”，内容包含平面几何 学、空间几何学和数论，总结了古希腊的很多数学知识，可能是从古至今影响最 大的科学著作中学课本中的平面几何学内容大都来源于“ Elemen ts”，从中可以学到古希腊 人用以逻辑为基础的理性思维进行科学研究的方法Einstein认为一个人如果 在年轻时对平面几何从没产生过兴趣的话，恐怕很难在科学上做出重要发现几何学的下一个进展由哲学家Descarte取得，据说他身体不好，经常需要卧床 休息，有一次看到在墙角织网的蜘蛛，受启发引进了坐标的概念由此产生了解 析几何学， 使得代数方法可以在几何问题中应用例如，圆周、椭圆、双曲线、 抛物线等古希腊人即开始研究的几何对象有很简单的代数描述。
解析几何学促进了微积分的诞生由 Newton 和 Leibnitz 创立的这门学问在现代 科学中的重要性是不用赘述的 将微积分应用于几何问题的研究就是所谓微分 几何最初研究的是三维空间中的曲线、曲面Gauss于1827年写了一本50页 左右的小书，研究曲面的微分几何，包括大学学的微分几何的主要内容这本书 标志着微分几何学的诞生 Gauss 当时主持一项土地测量的的项目，他写这本是 为了给这项工作一个理论基础Gauss也是非欧几何学（non-Euclidean geometry） 的创始人之一需要指出的是 Gauss 工作的主要领域是数论同Gauss 一样，Riemann工作的主要领域也不是几何学，而是单复变函数，但他 是现代微分几何与解析数论的创始人在他为取得大学教授资格的公开讲演中， Riemann提出了微分几何学发展的新思想，其中包括流形、Riemann度量、Riemann 曲率等重要概念简单的说，就是用局部坐标和坐标变换来描述一个空间，用 Riemann度量做最基本的几何量，空间的几何性质如弯曲程度由度量用特定方式 决定Riemann 的工作由 Christoffel、Ricci、Levi-Civita 等人发展，后来成为 Einstein创立的广义相对论的数学基础。
简单的说，广义相对论将物理量解释 为几何量具体的说，空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的参照系给 出不同的局部坐标；不同参照系之间的关系即是坐标变换时空流形的度量由所 谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量Einstein方 程说：时空的物理量（能量动量张量）等于时空的几何量（Ricci曲率张量）Einstein的工作激发了数学家对微分几何的兴趣，从而极大地促进了这门学科 的发展数学家和物理学家当时关心的自然的问题是 Maxwell 的电磁理论的几何 化和引力理论与电磁理论的统一Einstein后期致力于大统一理论的研究没有 取得有意义的进展，一个重要的原因可能是他没有利用广义相对论出现以后发展 的几何学数学家Hilber t、Weyl和Car tan都对以上问题做过研究他们的工作突出了流 形上联络的重要性，他们都对数学上用来描述连续对称性的Lie群的研究做出过 重大贡献 Cartan 的工作为现代微分几何的发展奠定了基础他引进的微分形 式理论是研究流形的代数拓扑的基本工具，纤维丛及其联络成为几何学的基本研 究对象 Weyl 提出的规范原理后来被杨振宁等人发展为规范场论，成为各种统 一理论的基础。
杨振宁先生上一世纪五十年代提出规范场论时并不清楚与几何学 的关系，后来人们逐渐认识到了它与几何学的一致性，引发了理论物理和微分几 何的深入交流，产生了 Donaldson 理论，Seiberg-Witten 理论、Gromov-Witten 理论等陈省身先生的工作建立了流形的局部几何性质与整体的拓扑性质的关系他引进 的陈示性类是几何学发展的一个里程碑，以后的重要进展无不建立在其基础上， 例如高维Riemann-Roch定理、指标理论等等陈先生1984年度的Wolf奖的证 书上写到：“他在整体微分几何上的卓越成就，其影响遍及整个数学 这里我们简单介绍了微分几何早期的一些历史发展（到二十世纪四十年代），我 写的综述文章有更多的信息完备准确的微分几何史只能等待陈先生这样的大师 来写对代数几何因为与本课程的内容相差较远则完全没有提及但我想指出微 分几何与代数几何是密切相关的学科，陈先生的工作也是代数几何的基本工具 Fields 奖获得者丘成桐先生的得奖工作一个在广义相对论领域（正质量猜想）， 一个在代数几何（Calabi猜想）后者在超弦理论中起关键的作用有趣的 是其他得过 Fields 奖的亚洲数学家如 Kodaira、Hironaka、Mori 都是代数几何 学家。
对于有志于理论物理特别是超弦理论的研究的学生来说， 微分几何与代数几何 是必修的学科对这一点有疑问的话，可以参看 Brian Greene 的通俗读物“宇 宙的琴弦”（The Elegant Universe）,特别是第十章去年夏天来到中国引起轰 动的 Hawking 的重要结果之一是与 Penrose 利用微分拓扑证明的黑洞存在性丘 成桐先生认为 Hawking 在微分几何上的贡献胜过大部分的微分几何学家见他的 讲话稿最后抄录我一次通俗讲演时所作的打油诗《场论有感》作结：宇宙无穷秘, 万物皆是场百代谁奠基,法麦爱外杨最后一句中五人为：Faraday, Maxwell, Einstein, Weyl和杨振宁对他们的 工作与几何学的关系感兴趣的话可以参看我的文章20 年前一次讲话陈省身1980 年春天,我先后应邀在北京大学、南开大学和暨南大学讲话,题目都是"对 中国数学的展望" 1981 年,《自然科学》4卷 1期刊载了这篇讲话的增订稿 今天看来, 20 年前的这篇讲话依然有它存在的价值,爰录于此,作为现在这篇 讲演的开场白数学是一门古老的学问在现代社会中,因为科学技术的进展和社会组织的日趋 复杂,数学便成为整个教育的一个重要组成部分。
计算机的普遍应用,也引起了 许多新的数学问题从几千年的数学史来看，当前是数学的黄金时代工作者人 数空前：可以说，健在的数学家人数超过了历史上出现过的数学家人数总和国 家社会供养着许多专门从事数学工作，这是史无前例的。