2022高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积和体积练习 文考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.空间几何体的表面积通过对柱、锥、台体、球的研究,掌握柱、锥、台体、球的表面积的求法Ⅱ2017课标全国Ⅰ,16;2017课标全国Ⅱ,15;2016课标全国Ⅱ,4;2016课标全国Ⅲ,10;2015课标Ⅰ,11选择题、填空题★★★2.空间几何体的体积1.理解柱、锥、球、台体的体积概念2.能运用公式求解球、柱体、锥体和台体的体积,并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系Ⅱ2017课标全国Ⅲ,9;2017天津,11;2016课标全国Ⅱ,19;2015课标Ⅰ,6★★★分析解读高考对本节内容的考查形式有两种:一是直接求柱、锥、球、台的表面积或体积,考查化归思想的应用.二是已知某几何体的表面积或体积求某些元素的量或元素之间的关系.考查形式以选择题和填空题为主,分值约为5分,主要以三视图为背景进行考查,对学生的识图能力和空间想象能力要求较高,所以在备考复习时应加强训练.五年高考考点一 空间几何体的表面积1.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12π B.π C.8π D.4π答案 A 2.(2016课标全国Ⅲ,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36 B.54+18 C.90 D.81答案 B 3.(2015课标Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36π B.64π C.144π D.256π答案 C 4.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1 B.2 C.4 D.8答案 B 5.(2015福建,9,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A.8+2 B.11+2 C.14+2 D.15答案 B 6.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 .答案 14π7.(2013课标全国Ⅰ,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为 .答案 教师用书专用(8—13)8.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4答案 D 9.(2014大纲全国,10,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π C.9π D.答案 A 10.(2013重庆,8,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.180 B.200 C.220 D.240答案 D 11.(2014山东,13,5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 .答案 1212.(2013课标全国Ⅱ,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为 .答案 24π13.(2013陕西,12,5分)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 .答案 3π考点二 空间几何体的体积1.(2017课标全国Ⅲ,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.π B. C. D.答案 B 2.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛答案 B 3.(2014课标Ⅱ,7,5分)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为( )A.3 B. C.1 D.答案 C 4.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是 .答案 5.(2016浙江,9,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm3.答案 80;406.(2017课标全国Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.解析 (1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD,所以PM⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN=x.因为△PCD的面积为2,所以×x×x=2,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2.所以四棱锥P-ABCD的体积V=××2=4.7.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)证明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.解析 (1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得=,故AC∥EF.(2分)由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)(2)由EF∥AC得==.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO==4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分)又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.(10分)所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=××2=.(12分)教师用书专用(8—27)8.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )A.8 cm3 B.12 cm3 C. cm3 D. cm3答案 C 9.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为（材料利用率=）( )A. B. C. D.答案 A 10.(2014湖北,10,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A. B. C. D.答案 B 11.(2014四川,4,5分)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )（锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高）A.3 B.2 C. D.1答案 D 12.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.12 B.18 C.24 D.30答案 C 13.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π答案 A 14.(2013浙江,5,5分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )A.108 cm3 B.100 cm3 C.92 cm3 D.84 cm3答案 B 15.(2016四川,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .答案 16.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.答案 π17.(2015四川,14,5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是 .答案 18.(2014天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.答案 19.(2013湖北,16,5分)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是 寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)答案 320.(2013天津,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为 .答案 21.(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.22.(2015课标Ⅱ,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解析 (1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.因为长方。