双曲线的标准方程及其几何性质

双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质.1.双曲线的定义：平面内与两定点Fi、F2的距离差的绝对值是常数 (大于零，小于1 F1F2 I )的点的轨迹叫双曲线两定点Fi、F2是焦点，两焦点间的距离|F1F2I是焦距，用2c表示，常数用2 a表示1)若I MF | - I MF I =2a时，曲线只表示焦点 F2所对应的一支双曲线.(2)若| MF |-| MF | =-2 a时，曲线只表示焦点 F1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a >2c时，动点的轨迹不存在.22.双曲线的标准方程：x2 a2y —2 a2匕=1( a >0,b >0)表示焦点在x轴上的双曲线;b225=1( a >0,b >0)表示焦点在y轴上的双曲线.b2判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是 x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上 .3.双曲线的简单几何性质:标准方程22x y /二彳 1 ( a 0,b 0)a2b222y x /1 ( a 0,b 0)a2 b2图象a, b,c关系范围顶点对称性关于x,y轴成轴对称、关于原点成中心对称渐近线离心率住日等轴双曲线:x2-y 2= a2( a刊)，它的渐近线方程为y =坎离心率e= J2 .4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的 个数来确定。

1)通常消去方程组中变量 y (或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有： 0 直线与双曲线相交于两个点；0 直线与双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点.(2)若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平 行于双曲线的一条渐近线.是直线l的斜率，(x-yj,(3)直线l被双曲线截得的弦长AB 而 k2)(x1 x2)2或J(1 ^2)(y1 y2)2,其中k(x2 , y2)是直线与双曲线的两个交点 A , B的坐标，且(x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2 , x1 x2 , x〔x2可由韦达定理整体给出.二、例题选讲例1、中心在原点，焦点在 x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为#,则双曲线方程为（）A. x2-y2= 1 B. x2-y2 = 2C. x2—y2=42D. x2-y2 = 2解析：由题意，设双曲线方程为x2 y2 一 .一 ..1—1(a>0),则 c= 72a,渐近线 y=x,，号=2.•.a2=2.，双曲线方程为x2-y2 = 2.答案：B例2、根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程.⑴过点P(3,（2） F1、F2是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上一点，双曲线离心率为F1PF260 , S pf1f21243.解：（1）依题意，双曲线白^实轴可能在 x轴上，也可能在 y轴上，分别讨论如下.如双曲线的实轴在 x轴上，设22二 4 1为所求.a2 b25由e ——，得2c25a24由点P（3, 版）在双曲线上,2■4 1 .②, b2T7 22乂 a b由①、②得a2 1 ，b2若双曲线的实轴在y轴上，设2 x ~2 ab21为所求.同理有2 c -2 a529.1)22।)4 a ba2 b2 c2,解之，得 b2172（不合，舍去）.・•.双曲线的实轴只能在 x轴上,所求双曲线方程为4y2（2）设双曲线方程为2x2a2 工 b21 ,因 F1F2 2c,2,由双曲线的定义，得PF12(2c)2PF12aPF2由余弦，得2PFj |PF2cos F1PF222・••4c2c2PFi PF2 .又 SPF1F2PF1 PF2 sin60 1273••• PFi PF248.••• 3c248 , c216,一 2得a 4,2_b 12 . ••・所求双曲线的方程为2y12三、巩固测试题1.到两定点F1A.椭圆3,0、F2 3,0的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹 （2.方程A.2xr-13.双曲线2_ _y_k rnkk 12x-2m 12A. 44.若 0 kB.线段C.双曲线D.两条射线1表示双曲线，则k的取值范围是B.2y2mC.D.双曲线B.2x1的焦距是2 .. 22 yC.D.与m有关A.相同的虚轴225.过双曲线—y-169~2-2a k b kB.相同的实轴2 y_ b2C.相同的渐近线D.相同的焦点1左焦点F1的弦AB长为6,则ABF2 （E为右焦点）的周长是A. 286.双曲线0―4B. 22C. 14D. 1212-= 1的焦点到渐近线的距离为A .2.3B. 2C. .3解析：双曲线 % y2=1的焦点为（4,0）或（一4,0）. 渐近线方程为 y = J3x或y= —/3x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等,|450| d== 2J33+ 12x7.以椭圆一 81的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（2 x C.—— 13D.13x28.过点P（4,4）且与双曲线x6y291只有一个交点的直线有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条解析:如图所示，满足条件的直线共有3条.9.经过两点A（ 7, 6J2）, B（2，7,3）的双曲线的方程为2 x A.22/1B.匕257521 C.—D.257510.已知双曲线的离心率为2 ,焦点是（-4,0） , （4,0）,则双曲线方程为（2 x A.— 42人=112B.122L=i4C.102匕=162 x D.— 62 一 10211.已知P是双曲线16y- 1上的一点，F1,F2是双曲线的两个焦点，且 F1PF2 120 9则PF1F2的面积为 （）DA. 16<3B. 9MC. 4后D. 3v'312 .双曲线25x2 16y2 400的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 ,焦点坐标为 ,渐近线方程为 ,离心率等于 2213.直线y x 1与双曲线二 匕 1相交于A,B两点，则 AB =12. 4V623214.过点M（3, 1）且被点M平分的双曲线 — y2 1的弦所在直线方程为 413. 3x 4y 5 02215.双曲线mx y 1的虚轴长是实轴长的 2倍，则m 222x 2.双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的 2倍，，m<0,且双曲线方程为—— y 1 ,4m= 1。

416.已知双曲线的离心率 e=哗,且与椭圆* +匕=1有共同的焦点，求该双曲线的方程.213 3解：在椭圆中，焦点坐标为（旬10, 0）,10_ .5a — 2，.•.a2=8, b2=2.x2v2・••双曲线方程为彳一^=1.217.已知F1、F2是双曲线 — y2 1的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF2 90 ,4求5^52的面积.xx22解：.「P为双曲线—— y2 1上的一个点且F1、 F2为焦点.4|PFi PF21 2a 4, F1F2 2c 2肥222••• F1PF290 ,••・在 Rt PF1F2 中，PF1PF2F1F220222 一一..•••PF1PF2PF1PF22PF1||PF216, .. 202PF1||PF216,PF1 PF22-1 ..■• S F1PF2-|PFl PF2118.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 F ( J3,0)，右顶点为一 、…1D(2,0)，设点 A 1,—.2(1)求该椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程;18.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= J3 ,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上,2椭圆的标准方程为 — y24(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(X0,y 0),x- x0=2x — 1V。

y=—得122y0=2y — 12由，点P在椭圆上，得世1)2419(2y 1)2 1，.♦・线段PA中点M的轨迹方程是2 4(y 4)219.已知椭圆C的焦点F1 (— 2J20)和 F2 ( 2J2 , 0),长轴长6,设直线椭圆C于A、B两点，求线段 AB的中点坐标解：由已知条件得椭圆的焦点在22 X_—y2 1.联立方程组 89x轴上,其中c= 2 J2 ,a=3,从而b=1,所以其标准方程是：y 1,消去y得，10x2x 236x 27 0.设 A(x1,y1),B( x2,y2),AB 线段的中点为 M(x0,y°)那么:Xix218 x1 x2一,x0 = 5 2所以y0=x0+2=— .也就是说线段 AB中点坐标为(--,—).55 520.求两条渐近线为 x 2y 0且截直线x y 3 0所得弦长为 曳3的双曲线方程3解:设双曲线方程为x2-4y 2=. 22x -4y =o联立方程组得：7，消去y得，3x2-24x+(36+)=0x y 3 0 x1 x28皿…——36设直线被双曲线截得的弦为AB,且A( xi,yi),B(x2,y2),那么：x〔x2 3242 1 2(36)那么：|AB|二 ,(1 互U x2)2 4丹％]. (1 1)(82 4 363 )8(12)8.32x 2解得：=4,所以，所求双曲线方程是：一 y 1421.中心在原点，焦点在 x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且| F1F2 | 2、H3 ,椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4,离心率之比为3 : 7。

1)求这两条曲线的方程；(2)若P为这两条曲线的一个交点，求 cos F1PF2的值21、解：(1)设椭圆的方程为2x。