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1、导数与函数的单调性【考点梳理】函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数【考点突破】考点一、判断或证明函数的单调性【例1】已知函数已知函数f(x)ln xa(1x)，讨论f(x)的单调性.解析 f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递增.若a0，则当x时，f(x)0；x时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上为单调递增函数.(2)当a0时，f(x)，则有当x(0，)时
2、，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，).综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间.当a0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，).【类题通法】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间【对点训练】已知函数f(x)ax2aln x，aR，求f(x)的单调区间解析 由题意得f(x)2ax(x0).当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为.综上所述，当a0时，f
3、(x)的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间.当a0时，函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.考点三、已知函数的单调性求参数【例3】已知函数f(x)x3ax1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围解析 因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立.因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，0.【变式1】函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围解析 因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0
4、在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3.【变式2】函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围解析 由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立.因为1x1，所以3x23，所以a3.即当a的取值范围为3，)时，f(x)在(1,1)上为减函数.【变式3】函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解析 f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由f(x)0，得x(a0).f(x)在区间(1,1)上不单调，01，得0a3，即a的取值范围为(0,3
5、).【类题通法】根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解【对点训练】1若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1，1BC D答案 C解析 取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.2已知aR，若函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围.解析 因为函数f(x)在(1，1)上单调递增，所以f(x)0对x(1，1)都成立.因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0对x(1，1)都成立.因为ex0，所以x2(a2)xa0，则a(x1)对x(1，1)都成立.令g(x)(x1)，则g(x)10，所以g(x)(x1)在(1，1)上单调递增，所以g(x)g(1)(11)，所以a，又当a时，当且仅当x0时，f(x)0，所以a的取值范围是.
