2019-2020年高三第五次自主命题数学（理）试题 含答案 一． 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．2．已知向量，则向量在方向上的投影为（ ） A． B． C． D．33. 将图像按向量平移，则平移后所得函数的周期及图像的一个对称中心分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，4. 已知圆和两坐标轴的公共点分别为，，，则的面积为（ ） A． B． C． D．5．已知，则（ ） A． B． C． D．6. 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A． B． C． D．7．下列四个命题中，正确的有（ ）①两个变量间的相关系数越小，说明两变量间的线性相关程度越低； ②命题“，使得”的否定是:“对， 均有” ；③命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件；④若函数在有极值，则或. A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个8. 某三棱锥的三视图如左下图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A． B． C． D． 9. 执行如右上图所示的程序框图，输出，那么判断框内应填（ ）A． B． C． D．10. 已知函数是上的偶函数，当时，都有 成立，若，则（ ） A. B.C. D. 11.在等差数列中，，且，则前项和中最大的是（ ）A． B． C． D． 12．已知抛物线，圆，过点作直线，自上而下顺次与上述两曲线交于点（如图所示），则的值正确的是（ ）A．等于 B．最小值是 C．等于 D．最大值是 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.设常数若的二项展开式中项的系数为，则 .14.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 个.（用数字作答）年份xxxxxxxxxx收入x11.512.11313.315支出Y6.88.89.8101215.某市居民xx年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系.16.设是数列的前n项和，且，则= . 三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程.）17.（本小题满分12分）已知四边形ABCD，,,,的面积为，（Ⅰ）求 （Ⅱ）求AC的长.. （本小题满分12分）某权威机构发布了xx年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”，随后，该市某校学生会组织部分同学用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度。
现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，以小数点后的一位数字为叶)．（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16人中随机选取3人，至多有一人是“极幸福”的概率；（III）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X表示抽到“极幸福”的人数，求X的分布列和数学期望．（本小题满分12分）在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的余弦值． （本小题满分12分）已知椭圆C：的焦距为,且椭圆过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）(1)“圆上点处的切线方程为”类比此结论，请写出椭圆上点处的切线方程_______（只需写出结论）. (2)过椭圆C左焦点F的直线交椭圆于两点，过分别作椭圆C的两条切线，求两切线交点的轨迹方程．（本小题满分12分）已知关于的函数，其中，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间内有极值，求的取值范围；（Ⅲ）当时，若有唯一零点，试求． （注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如，，； 以下数据供参考：，，，）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题10分）选修4—1：几何证明选讲如图，是圆外一点，是切线，为切点，割线与圆相交于点,为的中点，的延长线交圆于点,证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）23. （本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.（Ⅰ）求的参数方程；（Ⅱ）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中得到的参数方程，确定的坐标.24. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲设函数=（Ⅰ）证明：2；（Ⅱ）若，求的取值范围. 华清中学第五次自主命题理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案DACDCDABBBAC二、填空题：13.-2 14.14 15. 13，正 16. 三、解答题：17、解：如图，1）因为，.所以，所以A,B,C,D四点共圆，直径为AC.所以,所以又即又故。
由上知，,在中，由余弦定理得，.18、解：（I）众数：8.6；中位数：8.75（II）设表示所取三人中有个人“极幸福”，至多有一人是“极幸福”记为事件,则(III) X的所有可能取值为0，1，2，3，由题知 X的分布列为：19、解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD. 由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.以B为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M.则＝(1，1，0)，＝，＝(0，1，－1)．设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，则即取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sin θ＝＝＝. 即直线AD与平面MBC所成角的余弦值.20. 解：（Ⅰ）由已知得所以椭圆的方程为（Ⅱ）(1) （2） 当直线的斜率存在时，设的方程为设则椭圆在点A处的切线方程为在点B处的切线方程为,由得即此时交点的轨迹方程为（3） 当直线斜率不存在时，直线方程为此时经过A,B的切线的交点为（-2,0），综上所述，切线交点的轨迹方程为21、解：（Ⅰ）由题意，的定义域为， 又， …………1分（1） 当时， ∵恒成立， ∴在上单调递减； （2）当时， 由得，；由得，， ∴在上单调递减，在上单调递增……4分 （Ⅱ）∵， ∴的定义域为． ∴． …………5分 令． （） ∴． （） （1）当时， ∵恒成立，∴在上单调递增，又，∴在内存在一个零点，也是的零点． ∴在内有极值； （2）当时，当时，，即恒成立， 综上所述，若在内有极值，则实数的取值范围是8分 （Ⅲ）当时， 由（Ⅱ）知在上单调递减，又， ∴当时，． ∴． 又由（）及（）知， 在上只有一个极小值点，记为， 且当时，单调递减，当时，单调递增， 由题意，即为． ∴ ∴ 消去，得． 令， 则当时，单调递增，单调递减， 且， ． ∴， ∴． …………12分(22)解(1)连结错误！未找到引用源。
AB,错误！未找到引用源AC,由题设知错误！未找到引用源PA=错误！未找到引用源PD,故,因为,,,所以从而弧BE=弧EC,因此2)由切割线定理得，因为,所以，由相交弦定理得，所以，.(23) 解：（1）C的普通方程为可得C的参数方程.(2)设由（1）知C是以为圆心，1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与垂直，所以直线GD与的斜率相同.，故D的直角坐标为即24 解:（Ⅰ）由,有故不等式成立.（Ⅱ）因为所以当时,,由得当时,,由得综上所述,的取值范围 。