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1、2019-2020年高中数学 2.3.1空间直角坐标系及其应用学案 苏教版必修2或许你没有看过浩瀚无边的大海，但是你一定看过美国作家海明威的著名小说老人与海，其生动地描写了一位老人，在汹涌澎湃的海面上，孤身一人，与鲨鱼搏斗，最后战胜鲨鱼的过程，尽管老人只能拖回一副鱼骨头，但是他告诉我们“一个人可以被毁灭，但不能被打败”这是强者的精神宣言然而，你是否思考过：当船航行在茫茫无际的大海上时，四周只见水，不见物，那么，怎样知道船所在的位置呢？怎样知道船离目的地还有多远呢？1如图，OABCDABC是单位正方体以O为原点，分别以射线OA，OC，OD的方向为正方向，以线段OA，OC，OD的长为单位长，建立三
2、条数轴：x轴、y轴、z轴这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点；x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面2如图，设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P，Q和R.设点P，Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)有序实数组(x，y，z)叫做点M的坐标，记作M(x，y，z)其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标，原点O的坐标为(0，0，0)3若A(x1，y1，z1)，B(x
3、2，y2，z2)，则A、B两点的中点坐标为,一、空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系Oxyz.点O叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面(2)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系(3)空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出点M在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，其相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则
4、把有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标(4)xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集，其中x，y为任意的实数；xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集，其中x，z为任意的实数；yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意的实数(5)x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如(0，0，z
5、)的点构成的点集，其中z为任意实数二、空间直角坐标系中与平面直角坐标中重要结论对照表设P为(x，y，z)或(x，y)空间直角坐标系中平面直角坐标系中P在坐标轴上在x轴上(x，0，0)(x，0)在y轴上(0，y，0)(0，y)在z轴上(0，0，z)P的对称点关于原点(x，y，z)(x，y)关于x轴(x，y，z)(x，y)关于y轴(x，y，z)(x，y)关于z轴(x，y，z)知识点一空间中点的位置的确定1点A(0，2，3)在空间直角坐标系的位置是在_平面上解析：xA0，A在yOz平面上答案：yOz2有下列叙述：在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；在空间直角坐标系中，在yO
6、z平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0，0，c)；在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)其中正确叙述的序号是_解析：根据空间直角坐标系中坐标轴及坐标面上点的特点知正确答案：3如右图所示，空间直角坐标系中OABCDABC是棱长为2的正方体其中，E，F，G，H分别为边AB，BB，CD，AA的中点，则坐标为(0，1，2)的点是_解析：点的横坐标为0，点在平面yOz上，竖坐标为2.点在正方体的上底面上又纵坐标为1，故点为DC的中点G.答案：G点知识点二空间中点的坐标的确定4已知ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)、B(2
7、，5，1)、C(3，7，5)，则点D的坐标为_解析：连接AC、BD交于点P，则P为AC与BD的中点，由点A、C坐标求得中点P，再由B(2，5，1)求得点D的坐标为(5，13，3)答案：(5，13，3)5点M(1，2，1)在x轴上的射影为M，则M关于原点的对称点是_解析：M(1，2，1)在x轴上的射影M的坐标为(1，0，0)，则M关于原点的对称点为(1，0，0)答案：(1，0，0)6若x轴上一点A到z轴上一点B的距离为4，并且AB的中点到平面xOy的距离为1，则点A的坐标为_解析：设A(a，0，0)、B(0，0，c)，则AB中点P，1.|c|2.又a2c216.a212，a2.答案：(2，0，0
8、)知识点三空间中点的对称7点(1，1，1)关于z轴的对称点为_解析：由对称知点(x，y，z)关于z轴的对称点为(x，y，z)答案：(1，1，1)8点P(3，4，5)关于yOz平面的对称点的坐标为_解析：点(a，b，c)关于yOz平面的对称点为(a，b，c)答案：(3，4，5)9点M(2，3，1)关于点P(1，1，1)的对称点是_解析：点M(a，b，c)关于点P(1，1，1)的对称点是(2a，2b，2c)答案：(0，5，1)综合点一求空间中点的坐标10如右图，三棱锥OABC为一个正方体截下的一角，OAa，OBb，OCc，建立如图所示的坐标系，则ABC的重心G的坐标是_解析：A(a，0，0)、B(
9、0，0，b)、C(0，c，0)，G.答案：11已知矩形ABCD中，AB，AD，将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得平面BCD平面ABD.以D为原点，射线DB为y轴的正半轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，此时点A恰好在xDy坐标平面内试求A，C两点的坐标解析：如下图，过点C作CFBD于点F，过点A作AEBD于点E，由面BCD面ABD，得CF面ABD，AE面BCD.又在RtBCD中，BD5，DF3，CF.同理可得AE，DE2，故A(，2，0)、C(0，3，)综合点二空间中的对称问题12在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下面命题：点P关于x轴的对称点的坐标是(x，y，z)；点P关于平
10、面yOz的对称点的坐标是(x，y，z)；点P关于y轴的对称点的坐标是(x，y，z)；点P关于原点的对称点的坐标是(x，y，z)其中正确命题的序号是_解析：点P关于x轴、平面yOz、y轴、原点的对称点的坐标分别是(x，y，z)、(x，y，z)、(x，y，z)、(x，y，z)，故只有命题正确答案：13如图，已知一长方体ABCDA1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，顶点A的坐标为(2，3，1)，求其他7个顶点的坐标解析：A(2，3，1)，根据长方体各顶点的对称关系，不难求得B(2，3，1)、C(2，3，1)、D(2，3，1)A1、B1、C1、D1与A、B、C、D分别关于平面xOy对称，可得到A1(2，3，1)、B1(2，3，1)、C1(2，3，1)、D1(2，3，1)
