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1、2019-2020年高考数学一轮复习 专题探究课一习题 理 新人教A版1.设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0，6).(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解(1)因为f(x)a(x5)26ln x(x0)，故f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0，6)在切线上，可得616a8a6，解得a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x12，x23.当0x3
2、时，f(x)0，故f(x)的递增区间是(0，2)，(3，)；当2x3时，f(x)0，故f(x)的递减区间是(2，3).由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)6ln 2，在x3处取得极小值f(3)26ln 3.2.已知f(x)ax2(a2)xln x.(1)a1时，求yf(x)在(1，f(1)处的切线方程.(2)当a0时，若f(x)在区间1，e上最小值为2，求实数a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)x23xln x，f(x)2x3.因为f(1)0，f(1)2，所以曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是y2.(2)函数f(x)ax2(a2)xln x的定义域是(0，).当a0时，f(x
3、)2ax(a2)，令f(x)0，所以x或x.当01，即a1时，f(x)在1，e上单调递增，所以f(x)在1，e上的最小值是f(1)2；当1e时，f(x)在1，e上的最小值ff(1)2，不合题意；当e时，f(x)在1，e上单调递减，此时f(x)在1，e上的最小值f(e)f(1)2，不合题意.综上，实数a的取值范围为1，).3. (xx菏泽一中模拟)已知函数f(x)exln(xm).(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明：f(x)0.(1)解f(x)ex，由x0是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(
4、x)ex.函数f(x)ex在(1，)上单调递增，且f(0)0，因此当x(1，0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.所以f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，)上单调递增.(2)证明当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)0.当m2时，函数f(x)ex在(2，)上单调递增.又f(1)0，f(0)0，故f(x)0在(2，)上有唯一实根x0，且x0(1，0)当x(2，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值.由f(x0)0得ex0，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.综上，当m2时，f(x)0.
5、4.已知函数f(x)exex2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)f(2x)4bf(x)，当x0时，g(x)0，求b的最大值；解(1)f(x)exex20，等号仅当x0时成立，所以f(x)在(，)上单调递增.(2)g(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x，g(x)2e2xe2x2b(exex)(4b2)2(exex2)(exex2b2).当b2时，g(x)0，等号仅当x0时成立，所以g(x)在(，)上单调递增.而g(0)0，所以对任意x0，g(x)0；当b2时，若x满足2exex2b2，即0xln(b1)时，g(x)0，而g(0)0，因此当0xln(b
6、1)时，g(x)0，综上，b的最大值为2.5.已知函数f(x)exmx，其中m为常数.(1)若对任意xR有f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)当m1时，判断f(x)在0，2m上零点的个数，并说明理由.解(1)依题意，可知f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增.故当xm时，f(m)为极小值也是最小值.令f(m)1m0，得m1，即对任意xR ，f(x)0恒成立时，m的取值范围是(，1.(2)f(x)在0，2m上有两个零点，理由如下：当m1时，f(m)1m0，f(0)f(m)1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增
7、.g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m，2m)上有一个零点.故f(x)在0，2m上有两个零点.6.(xx山东卷)设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中aR.(1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(2)若x0，f(x)0成立，求a的取值范围.解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)a(2x1).令g(x)2ax2axa1，x(1，).当a0时，g(x)1，此时f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点；当a0时，a28a(1a)a(9a8).()当0a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调
8、递增，无极值点；()当a时，0，设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，因为x1x2，所以x1，x2.由g(1)10，可得1x1.所以当x(1，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；因此函数有两个极值点.()当a0时，0，由g(1)10，可得x11.当x(1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；所以函数有一个极值点.综上所述，当a0时，函数f(x)
9、有一个极值点；当0a时，函数f(x)无极值点；当a时，函数f(x)有两个极值点.(2)由(1)知，当0a时，函数f(x)在(0，)上单调递增，因为f(0)0，所以x(0，)时，f(x)0，符合题意；当a1时，由g(0)0，得x20，所以函数f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)0，所以x(0，)时，f(x)0，符合题意；当a1时，由g(0)0，可得x20.所以x(0，x2)时，函数f(x)单调递减；因为f(0)0，所以x(0，x2)时，f(x)0，不合题意；当a0时，设h(x)xln(x1).因为x(0，)时，h(x)10 ，所以h(x)在(0，)上单调递增，因此当x(0，)时，h(x)h(0)0，即ln(x1)x.可得f(x)xa(x2x)ax2(1a)x，当x1时，ax2(1a)x0，此时f(x)0，不合题意.综上所述，a的取值范围是0，1.
