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1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(四)第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2013江西高考)复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2014天津模拟)已知下列结论:若a=b,b=c,则a=c;若ab,bc,则ac;|ab|=|a|b|;若ab=ac,则b=c的逆命题.其中正确的是()A.B.C
2、.D.3.复数z=3-(i为虚数单位)的模为()A.2B.3C.D.44.已知向量a=(-1,2),则下列向量与a共线的是()A.b=(1,-2)B.b=(2,-1)C.b=(0,1)D.b=(1,1)5.(2014哈尔滨模拟)设P是ABC所在平面内的一点,若+=2,则()A.+=0B.+=0C.+=0D.+=06.(2014成都模拟)复数的共轭复数为()A.-+iB.+iC.-iD.-i7.(2013大纲版全国卷)已知向量m=,n=,若,则=()A.-4B.-3C.-2D.-18.下面是关于复数z=+的四个命题:p1:|z|=2;p2:z2=4i;p3:=2i;p4:z的虚部是0,其中的真命
3、题为()A.p1,p2B.p1,p3C.p2,p3D.p3,p49.(2014邯郸模拟)如图所示,非零向量=a,=b,且BCOA,C为垂足,若=a(0),则=()10.(2014宁波模拟)在平面直角坐标系中,A(,1),B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点,则|+|的最大值是()A.4B.3C.2D.111.已知向量a=(1,3),b=(-2,-6),|c|=,若(a+b)c=5,则a与c的夹角为()A.30B.45C.60D.12012.(能力挑战题)设e1,e2是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量m满足(m-e1)(m-e2)=0,则|m|的最大值为()A.1B.C.D.2二、填空题(本
4、大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若=3+4i,=-1-i,i是虚数单位,则=(用复数代数形式表示).14.(2013重庆高考)在OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=.15.已知角A,B,C是三角形ABC的内角,a,b,c分别是其对边长,向量m=,n=,mn,且a=2,cosB=,则b=.16.(能力挑战题)已知点A(3,0),B(0,3),C(cos,sin),若=-1,则的值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2014长春模拟)已知向量=,=,定
5、义函数f(x)=.(1)求函数f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值.(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=1,bc=8,求ABC的面积S.18.(12分)已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.(1)求点C,D对应的复数.(2)求平行四边形ABCD的面积.19.(12分)(2014西安模拟)已知向量a=(sin(x+),2),b=(1,cos(x+),函数f(x)=(a+b)(a-b),y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点M.
6、(1)求函数f(x)的解析式.(2)当-1x1时,求函数f(x)的单调区间.20.(12分)(2014大庆模拟)已知向量a=(,cosx),b=(sinx,1),函数f(x)=ab,且最小正周期为4.(1)求的值.(2)设,f=,f=-,求sin(+)的值.(3)若x-,求函数f(x)的值域.21.(12分)已知平面向量a=(,-1),b=.(1)若x=(t+2)a+(t2-t-5)b,y=-ka+4b(t,kR),且xy,求出k关于t的关系式k=f(t).(2)求函数k=f(t)在t(-2,2)上的最小值.22.(12分)(能力挑战题)(1)如图,设点P,Q是线段AB的三等分点,若=a,=b
7、,试用a,b表示,并判断+与+的关系.(2)受(1)的启示,如果点A1,A2,A3,An-1是AB的n(n3)等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.答案解析1.【解析】选D.由题意得z=1-2i,对应点为(1,-2),故选D.2.【解析】选B.由向量相等的概念知正确;因为零向量和任何向量共线,所以当b=0时,结论不成立,故不正确;因为|ab|=|a|b|cos|(是a与b的夹角),所以当|cos|1时,不正确;的逆命题是“若b=c,则ab=ac”,显然该结论是正确的.故选B.【误区警示】解答本题易类比实数的运算性质和平行线的传递性而误选C,出错的原因是忽视了向量与数量的区别,而把实数的运算
8、法则照搬到向量运算中来.3.【思路点拨】利用复数的除法运算化简给出的复数,然后直接利用模的公式求模.【解析】选C.由z=3-=3-=3+i.所以|z|=.故选C.4.【解析】选A.由a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线x1y2-x2y1=0,验证易知A正确.5.【解析】选C.由已知,得-+-=-2,即+=0,故选C.【一题多解】本题还有如下解法:如图,由+=2,知P是AC的中点,显然+=0,故选C.【加固训练】若+=0,则ABC必定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.+=0(+)=0=0,则ABC必定是直角三角形.6.【解析】选D.因为=-+i
9、.所以其共轭复数为-i.【加固训练】(2013广元模拟)复数的共轭复数是()A.-iB.iC.-iD.i【思路点拨】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,复数化简为a+bi(a,bR)的形式,然后求出共轭复数即可.【解析】选C.复数=i,它的共轭复数为-i.故选C.7.【解析】选B.因为(m+n)(m-n),所以(m+n)(m-n)=|m|2-|n|2=0,即(+1)2+1-(+2)2-4=0,解得=-3.8.【解析】选B.z=-2i.所以|z|=2,z2=-4,=2i,z的虚部是-2.故p1,p3是真命题,p2,p4是假命题.9.【解析】选A.,即,所以(-)=0,所以|2-=0,即2|a|2
10、-ab=0,又0,解得=.10.【解析】选B.由题意可知向量的模是不变的,所以当与同向时,|+|最大,结合图形可知,|+|max=|+1=+1=3.【一题多解】本题还有如下解法:由题意,得|=2,|=1,设向量,的夹角为,所以|+|=.所以当=0,即与同向时,|+|max=3.11.【解析】选D.设c=(x,y),因为a+b=(-1,-3),所以(a+b)c=-x-3y=5,|c|=,即解得或不妨取即c=,设a与c的夹角为,则cos=-.因为0180,所以=120,故选D.【一题多解】选D.由题意,得b=-2a,所以(a+b)c=(a-2a)c=-ac=5,即ac=-5.设a与c的夹角为,则c
11、os=-.因为0180,所以=120.故选D.12.【解析】选B.因为|e1|=|e2|=1,e1e2,所以(m-e1)(m-e2)=m2-m(e1+e2)+e1e2=m2-m(e1+e2)=0,即m2=m(e1+e2).设m与e1+e2的夹角为,因为|e1+e2|=,所以|m|2=|m|e1+e2|cos,即|m|=cos,因为0,所以|m|max=.【一题多解】选B.设e1,e2是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,则e1=(1,0),e2=(0,1).设m=(x,y),则m-e1=(x-1,y),m-e2=(x,y-1),所以(m-e1)(m-e2)=x(x-1)+y(y-1)=0,即x2
12、+y2-x-y=0,+=,故向量m的终点(始点在坐标原点)的轨迹是以为圆心,为半径的圆.如图,所以|m|的最大值是圆的直径,即为.【加固训练】(2014广州模拟)如图,已知圆M:(x-3)2+(y-3)2=4,四边形ABCD为圆M的内接正方形,E,F分别为边AB,AD的中点,当正方形ABCD绕圆心M转动时,的取值范围是()A.-6,6B.-6,6C.-3,3D.-4,4【解析】选A.设A(3+2cos,3+2sin),D(3+2cos,3+2sin),则F(3+cos+cos,3+sin+sin),由图知,=(cos-cos,sin-sin),=(3+cos+cos,3+sin+sin),所以
13、=(3+cos+cos,3+sin+sin)(cos-cos,sin-sin)=3(cos+sin)-3(cos+sin)=3sin-3sin-6,6,故选A.13.【解析】因为=3+4i,=-1-i,i是虚数单位,所以=-=(-1-i)-(3+4i)=-4-5i.答案:-4-5i14.【思路点拨】可根据题意先求出向量的坐标,再利用OAAB求解.【解析】=-=(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1),因为OAAB,所以=0,即-3+k-1=0,解得k=4.答案:415.【解析】因为mn,所以mn=2sincos-2cos2=0,因为A(0,),所以cos0,所以tan=,=,A=.由cosB=,得sinB=,由正弦定理得=,解得b=.答案:【加固训练】(2013济宁模拟)平面向量a与b的夹角为,a=(2,0),|b|=1,则|a+b|等于.【思路点拨】利用向量数量积的性质可得|a+b|=,把已知代入即可.【解析】因为向量a与b的夹角为,a=(2,0),|b|=1,所以|a+b|=.答案:16.【解析】由题意,得=(cos-3,sin),=(cos,sin-3),所以=cos(cos-3)+sin(sin-3)=-1,即sin+cos=.两边平方,得1+2sincos=,所以2sincos=-.原式=-.答案:-17.【解析】
