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1、2019届高三数学下学期押轴考试试题理一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1计算等于 ( )A B C D2已知命题,则是 ( )A, B,C, D,3在矩形中,若向该矩形内随机投一点,那么使得与的面积都不小于2的概率为A B C D4已知函数为偶函数,且在单调递减,则的解集为A B C D5已知双曲线的离心率为,则的值为A1 B C1或 D-16等比数列的前项和,前项和,前项和分别为,则A B C D7执行如图所示的程序框图,若输入,输出的,则空白判断框内应填的条件为A B C D 8将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来
2、的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象,在图象的所有对称轴中,离原点最近的对称轴为A B C D9在的展开式中,含项的系数是A119 B120 C121 D72010我国古代数学名著九章算术记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无丈刍,草也;甍,屋盖也”翻译为:“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图,为一刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形则它的体积为A B C D 11设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为 A B C D12.设点在曲线上,点在曲线上,则最小值为( )(A) (B) (C) (D) 二、填空题(本
3、大题共4小题,每小题5分,共20分)13已知变量满足约束条件 ,则的取值范围是_14中, 、分别是角、所对的边,若, 则_15如图所示,三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)。设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为_(参考数据:,答案精确到整数)16设二次函数(为常数)的导函数为,对任意,不等式恒成立,则的最大值为_三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题
4、,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17(12分)若数列的前项和为,首项且(1)求数列的通项公式;(2)若,令,求数列的前项和18.(本小题满分12分)2016年1月1日,我国实行全面二孩政策,同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求.某城市实行网格化管理,该市妇联在网格1与网格2两个区域内随机抽取12个刚满8个月的婴儿的体重信息,休重分布数据的茎叶图如图所示(单位:斤,2斤=1千克),体重不超过9.8的为合格.()从网格1与网格2分别随机抽取2个婴儿,求网格1至少一个婴儿体重合格且网格2至少一个婴儿体重合格的概率;()妇联从网格1内8个婴儿中随机抽取4个进行抽检,若至少2个婴儿合格,则抽
5、检通过,若至少3个合格,则抽检为良好.求网格1在抽检通过的条件下,获得抽检为良好的概率;()若从网格1与网格2内12个婴儿中随机抽取2个,用表示网格2内婴儿的个数,求的分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)如图在棱锥中,为矩形,面,与面成角,与面成角.()在上是否存在一点,使面?若存在确定点位置,若不存在,请说明理由;()当为中点时,求二面角的余弦值.20. (本小题满分12分)已知椭圆C:的离心率与双曲线的离心率互为倒数,且过点(1)求椭圆C的方程;(2)过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M、N两点 求证:直线MN的斜率为定值; 求MON面积的最大值(其中O为坐标原点)21(本小题满分
6、12分)已知函数f(x)=(x36x2+3x+t)ex,tR(1)当时,函数f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)若函数y=f(x)有三个不同的极值点,求t的取值范围;(3)若存在实数t0,2,使对任意的x1,m,不等式f(x)x恒成立,求正整数m的最大值请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),若以该直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.()求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;()求曲线上的动点与曲线上动点的最小距离.23
7、.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)已知函数,其最小值为.()求的值;()正实数满足,求证:.理科数学试题参考答案及评分标准15. ADDBC610DBABA1112 B B13【解析】作出不等式组对应的平面区域如图由z=x2y得y=xz,平移直线y=xz,由图象可知当直线y=xz经过点A(2,4)时,直线y=xz的截距最大,此时z最小为z=28=6,当直线y=xz经过点O(0,0)时,直线y=xz的截距最小,此时z最大为z=0。故答案为:6,014【解析】因为,由正弦定理得,即, ,所以, 15设大正方形的边长为,则根据直角三角形,其中一角为可得直角三角形短的直角边长为,长的直角边长
8、为,即小正方形的边长为,则大正方形的面积为,小正方形的面积为,米粒落在小正方形内的概率为 落在黄色图形内的图钉数大约为1000 16【解析】试题分析:根据题意易得: ,由得: 在R上恒成立,等价于: ,可解得: ,则: ,令, ,故的最大值为17(1)或;(2)解析:(1)当时,则 当时,即或或 6分(2)由, 12分18.解析:()由茎叶图知,网格1内体重合格的婴儿数为4,网格2内体重合格的婴儿数为2,则所求概率.3分()设事件表示“2个合格,2个不合格”;事件表示“3个合格,1个不合格”; 事件表示“4个全合格”;事件表示“抽检通过”;事件表示“抽检良好”.,则所求概率.7分()由题意知,
9、的所有可能取值为0,1,2.,的分布列为.12分19.()解:建立如图所示的空间直角坐标系, 由题意知,设, ,,由,得,即存在点E为PC中点. 6分()由()知,,, ,,设面的法向量为,面的法向量为由的法向量为得,得同理求得,所以,故所求二面角PAED的余弦值为. 12分20.(12分)(1)可得,设椭圆的半焦距为,所以,分因为C过点,所以,又,解得,分所以椭圆方程为分(2) 显然两直线的斜率存在,设为,由于直线与圆相切,则有,分直线的方程为, 联立方程组消去,得,分因为为直线与椭圆的交点,所以,同理,当与椭圆相交时,所以,而,所以直线的斜率分 设直线的方程为,联立方程组消去得,所以,分原
10、点到直线的距离,分面积为,当且仅当时取得等号经检验,存在(),使得过点的两条直线与圆相切,且与椭圆有两个交点M,N所以面积的最大值为分21.解:(1)函数f(x)=(x36x2+3x+t)ex,则f(x)=(x33x29x+3+t)ex,函数f(x)在点(0,f(0)处的切线斜率为f(0)=3+t,由题意可得,3+t=4,解得,t=1;切线方程为:4x-y+1=0 3分(2) f(x)=(x33x29x+3+t)ex,令g(x)=x33x29x+3+t,则方程g(x)=0有三个不同的根,又g(x)=3x26x9=3(x22x3)=3(x+1)(x3)令g(x)=0得x=1或3 且g(x)在区间
11、(,1),(3,+)递增,在区间(1,3)递减,故问题等价于,即有,解得,8t24; 6分 (3)不等式f(x)x,即(x36x2+3x+t)exx,即txexx3+6x23x转化为存在实数t0,2,使对任意的x1,m,不等式txexx3+6x23x恒成立即不等式0xexx3+6x23x在x1,m上恒成立即不等式0exx2+6x3在x1,m上恒成立 8分设(x)=exx2+6x3,则(x)=ex2x+6设r(x)=(x)=ex2x+6,则r(x)=ex2.因为1xm,有r(x)0,故r(x)在区间1,m上是减函数又r(1)=4e10,r(2)=2e20,r(3)=e30故存在x0(2,3),使得r(x0)=(x0)=0当1xx0时,有(x)0,当xx0时,有(x)0从而y=(x)在区间1,x0上递增,在区间x0,+)上递减又(1)=e1+40,(2)=e2+50,(3)=e3+60,(4)=e4+50,(5)=e5+20,(6)=e630所以当1x5时,恒有(x)0;当x6时,恒有(x)0.故使命题成立的正整数m的最大值为5 12分22.解析:()由已知,所以:,.3分由得,所以5分()直线:,设上的点为,则,当时取等号,满足,所以所求的最小距离为.10分23.解析:(),3分当且仅当取等,所以的最小值5分()根据柯西不等式: