《2020版高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第一节 坐标系学案 文（含解析）新人教A版选修4-4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第一节 坐标系学案 文（含解析）新人教A版选修4-4（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节坐标系2019考纲考题考情1平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2极坐标的概念(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系。(2)极坐标：对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长，表示以Ox为始边、OM为终边的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序实数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)。当点M在极点时，它
2、的极径0，极角可以取任意值。(3)点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当kZ时，(，)，(，2k)，(，(2k1)表示同一个点，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的。如果规定0,02，或者，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了。3极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0，0,2)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象
3、限取最小正角。4常见曲线的极坐标方程1明辨两个坐标伸缩变换关系式点(x，y)在原曲线上，点(x，y)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x，y)的坐标满足变换后的曲线方程。2极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式xcos及ysin直接代入并化简。(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如cos，sin，2的形式，进行整体代换。一、走进教材1(选修44P15T4改编)在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是()ABC(1,0)D(1，)解析由2sin，得22sin，化成直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y
4、1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为。故选B。解析：由2sin2cos，知圆心的极坐标为。故选B。答案B2(选修44P15T3改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A，0B，0Ccossin，0Dcossin，0解析因为y1x(0x1)，所以sin1cos(0cos1)，所以。故选A。答案A二、走出误区微提醒：极坐标与直角坐标的互化致误；求极坐标方程不会结合图形求解致误。3将极坐标化为直角坐标为()A(0,2)B(0，2)C(2,0)D(2,0)解析由可知直角坐标为(0，2)。故选B。答案B4在极坐标系中，过点且与
5、极轴平行的直线方程是()A0BCcos2Dsin2解析极坐标为的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y2，其极坐标方程为sin2。故选D。答案D5在极坐标系中，圆心在(，)且过极点的圆的方程为_。解析如图，O为极点，OB为直径，A(，)，则ABO，OB2，化简得2cos。答案2cos考点一伸缩变换【例1】(1)曲线C：x2y21经过伸缩变换得到曲线C，则曲线C的方程为_。(2)曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x2y21，则曲线C的方程为_。解析(1)因为所以代入曲线C的方程得C：y21。(2)根据题意，曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x2y21，则(2x)2(3y
6、)21，即4x29y21，所以曲线C的方程为4x29y21。答案(1)y21(2)4x29y211平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，整理得yh(x)为所求。2解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P(x，y)的坐标关系，用方程思想求解。【变式训练】(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：则点A经过变换后所得的点A的坐标为_。(2)双曲线C：x21经过伸缩变换：后所得曲线C的焦点坐标为_。解析(1)设A(x，y)，由伸缩变换：得到由于点A的坐标为，于是x31，y(2)1，所
7、以A的坐标为(1，1)。(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，将代入x21，得1，化简得1，即为曲线C的方程，知C仍是双曲线，其焦点坐标分别为(5,0)，(5,0)。答案(1)(1，1)(2)(5,0)，(5,0)考点二极坐标与直角坐标的互化【例2】(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30。(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程。解(1)由xcos，ysin得C2的直角坐标方程为(x1)2y24。(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径
8、为2的圆。由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线。记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2。由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点。当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线ykx2的距离为2，所以2，故k或k0。经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点。当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线ykx2的距离为2，所以2，故k0或k。经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C
9、2没有公共点。综上，所求C1的方程为y|x|2。1极坐标与直角坐标的互化依据是xcos，ysin。2互化时要注意前后的等价性。【变式训练】(1)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin。求曲线C的直角坐标方程。(2)在平面直角坐标系中，曲线C1：(为参数)经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。求C2的极坐标方程。解(1)把4sin展开得2sin2cos，两边同乘，得22sin2cos。将2x2y2，cosx，siny代入即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y0。(2)由题意得曲线C2的参
10、数方程为(为参数)，则曲线C2的直角坐标方程为(x1)2y21，将xcos，ysin代入整理得2cos，所以曲线C2的极坐标方程为2cos。考点三求曲线的极坐标方程【例3】在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为sin2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|OM|4，记点P的轨迹为C2。(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)求曲线C2上的点到直线cos距离的最大值。解(1)设P(1，)，M(2，)，由|OP|OM|4，得124，即2。因为M是C1上任意一点，所以2sin2，即sin2，12sin。所以曲线C2的极坐标方程为2sin。(2)由2sin，得22sin，即x2y22y0，化
11、为标准方程为x2(y1)21，则曲线C2的圆心坐标为(0,1)，半径为1，由直线cos，得：coscossinsin，即xy2，圆心(0,1)到直线xy2的距离为d，所以曲线C2上的点到直线cos距离的最大值为1。求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程。【变式训练】(2019广州五校联考)在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆。(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：(R)所截得的弦长。解(1)设所求圆上任
12、意一点M(，)，如图，在RtOAM中，OMA，AOM2，|OA|4。因为cosAOM，所以|OM|OA|cosAOM，即4cos4cos，验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，故4cos为所求。(2)设l：(R)交圆C于点O，P，在RtOAP中，OPA，易得AOP，所以|OP|OA|cosAOP2。解：(1)圆C是将圆4cos绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是4cos。(2)将代入圆C的极坐标方程4cos，得2，所以圆C被直线l：(R)所截得的弦长为2。考点四极坐标方程的应用【例4】在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是x4。曲线C的参数方程是(为参数)。以坐标原点为
13、极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；(2)若射线与曲线C交于点O，A，与直线l交于点B，求的取值范围。解(1)由xcos，得直线l的极坐标方程为cos4。曲线C的参数方程为(为参数)，消去参数得曲线C的普通方程为(x1)2(y1)22，即x2y22x2y0，将x2y22，xcos，ysin代入上式得22cos2sin，所以曲线C的极坐标方程为2cos2sin。(2)设A(1，)，B(2，)，则12cos2sin，2，所以(sin2cos2)sin，因为0，所以2，所以sin1，所以sin。故的取值范围是。极坐标方程解决几何问题，一定要联系与的几何意义。【变式训练】(1)(2018江苏高考)在极坐标系中，直线l的方程为sin2，曲线C的方程为4cos，求直线l被曲线C截得的弦长。(2)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)
