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1、 感知高考刺金256题已知非零向量和互相垂直，则和的夹角余弦值的最小值是 解：令，则感知高考刺金257题已知正数满足，则的取值范围是 解：设，则又因为即，解得当且仅当时，；当且仅当时，感知高考刺金258题已知实数，若，则的最小值是 解法一：待定系数法待定系数法，令，解得故，当且仅当时取得解法二：令，即时，当且仅当时取得解法三：三角换元设，原问题转化为，求的最小值令，故问题又转化为已知，求的最小值于是因为，故评注：这里又遇到的结构，故可三角换元设，10月1日每日征解有相同的处理方法。感知高考刺金259题已知中，点是线段上一点，且，则的取值范围是 解：根据，可知在以为直径，以中点为圆心的圆上。又，
2、且，根据投影的几何意义为点在的中垂线上，又点在上，故点就是线段的中垂线与线段的交点又，故问题转化为当点在以为直径的圆上运动时，求的取值范围显然当与重合时，与接近重合时，故感知高考刺金260题在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为的点有 个 解：如图，将正方体的各个顶点（除B点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类。显然与所成角的正切值为，故大于与所成角的为，大于与所成角的为，大于与所成角的正切值为，小于当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足；依此类推，当点在上运动时，都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有3个。点评：本题虽然是立体几何问题，但类似于函数的零点存在性定理（一上一下中间一点），角度的变化不会发生突变，故在变化的过程中一定存在一个临界点。这种思想在处理选择题时经常用到。
