第06单元 最值问题 “最大最小、最多最少、最长最短问题”，我们称之为“最值问题”.让我们翻开记忆，按照“最值问题”在课本中出现的顺序搜索一下：1、 两点之间线段最短；2、 垂线段最短；3、 不等式的最大（小）值；4、 二次整式最值；5、 线段和最小差最大；6、 勾股对称最短路径；7、 一次函数最优方案；8、 圆中最长弦是直径；9、 圆的最近（远）距离；10、 二次函数的最值；11、 平方和最小问题.以上所列，有的是同一问题，有的具有包含关系（如“二次函数最值”包含了“二次整式最值”），有的很少出现，为了简捷实用，我进行了整理，就以下几个问题展开：一、 两点之间，线段最短说明：“两点之间，线段最短”应用非常广泛，它常与三角形、轴对称、图形表面展开图等相结合，题目类型很多.（一） 线段和最小说明：此乃“两点之间，线段最短”与轴对称的结合题.通法：求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”：作其中一点关于这条直线的对称点，连结这个对称点与另一点的线段与这条直线的交点即为所求，此线段长即为该最小距离.例6-1-1 几何模型（1） 如图6-1-1①，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小. 图6-1-1① 图6-1-1②你作图的根据是： .（2） 如 图6-1-1②，点A、B位于直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小.你作图的根据是： .模型应用：（3） 如图6-1-1③，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 .（4） 如图6-1-1④，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点E是线段CD的中点，K为线段BD上的任意一点，则CK+EK的最小值为 .（5） 如图6-1-1⑤，抛物线与坐标轴交于点A（-1,0）和点B（0，-5）.点P在它的对称轴上，使△ABP周长最小的点P坐标为 . 图6-1-1③ 图6-1-1④ 图6-1-1⑤14、（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 10 ．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．3718684分析：由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．解答：解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．体验与感悟 6-1-11、（1）如图6-1-2①，在等边△ABC中，AB=6，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使PB+PE的最小，最小值为 . （2）如图6-1-2②，圆O的半径为2，点A、B、C在圆O上，OA⊥OB，∠A=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 . （3）如图6-1-2③，点D、E分别是△ABC的AC、AB边的中点，BC=6，BC边上的高为4，P在BC边上，则△PDE周长的最小值 . 图6-1-2① 图6-1-2② 图6-1-2③2、 （1）如图6-1-3①，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 .（2） 如图图6-1-3②，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值是 .（3） 如图图6-1-3③，锐角△ABC中，，∠BAC=45°，AD平分∠BAC，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 .图6-1-3① 图6-1-3② 图6-1-3③以下为补充习题：3、如图6-1-3④，，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 . 图6-1-3④4、 如图6-1-3⑤，已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC长的最大值是 . 图6-1-3⑤ 图6-1-3⑥5、如图6-1-3⑥，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，点A、B分别在x轴、y轴上，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴上运动.在运动过程中，点C到原点O的最大距离为 .6、如图6-1-3⑦，正方形ABCD的边长为2，当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动.在运动过程中，点B到原点O的最大距离与最小距离的积为 . 图6-1-3⑦19、(2013年武汉)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．答案：解析：（二） 线段差最大说明：此乃“三角形三边关系之两边之差小于第三边”的应用.通法：求“直线上一点到这条直线异侧两点的距离差最大”：作其中一点关于这条直线的对称点，连接这个对称点与另一点的线段所在直线与这条直线的交点即为所求.例6-1-2 几何模型（1） 如图6-1-4① ，点A、B位于直线m的同侧，在直线m上找一点P，使的值最大. 图6-1-4① 你的作图根据是： .（2） 如图6-1-4② ，点A、B位于直线m异侧，在直线m上找一点P，使的值最大. 图6-1-4② 你的作图根据是： .模型应用：如图6-1-4③，一次函数的图象与轴分别交于点A（2,0）、B（0,4），D为AB的中点，C、A关于原点对称.P为OB上一动点，请直接写出的范围： . 图6-1-4③体验与感悟 6-1-21、 在圆O所在的平面上有一点A，它到圆O的最近距离为3，最远距离为7，则圆O的半径为 .2、 点A、B均在由面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图6-1-5.若P是x轴上使得的值最大的点，OP= .3、 如图6-1-6，抛物线经过A（-1,0）、C（0,4）两点，与x轴交于另一点B.（1） 抛物线及对称轴分别为 .（2） 点D在所求抛物线的对称轴上，求的最大值. 图6-1-5 图6-1-6 （三） “小虫爬爬”问题说明：求小虫在柱体、物体表面爬的最短距离，题目在多数情况下是用勾股定理求物体表面展开图上两点间距离.通法：见“小虫爬爬问题”，作展开图构造直角三角形，再用勾股定理求之.例6-1-3（1）如图6-1-7①，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高4cm，一直蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到点的最短路程是多少？规律：“小小相加凑一边时路径最短.”（2） 如图6-1-7②，圆柱形杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁达到蜂蜜的最短距离为多少？ 图6-1-7②规律：“一内点一外点要用轴对称.”体验与感悟 6-1-31、 （1）如图6-1-8①，长方体的长、宽、高分别为15、10、20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B的最短距离是（ ）A、5 B、25 C、15 D、35 图6-1-8① 图6-1-8② 图6-1-8③ 图6-1-8④（2） 如图6-1-8②，底面半径为3cm的圆锥的主视图是一个正三角形，C是母线OB的中点，则在圆锥表面从A到C的最短距离等于 cm.（3） 如图6-1-8③，圆柱高是8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食物，爬行的最短路程是（ ）cm.（π取3）A、20 B、10 C、14 D、无法确定（4） 如图6-1-8④，ABCDEFGH是一个无上底的长方体容器.M在容器内侧，位于侧棱BF上.已知AB=5，BF=9，FM=3，则从外部的点A到内部的点M的最短距离等于 .2、 如图6-1-9，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两个相对的点.A点处有一只昆虫想到B点去吃食物，则昆虫沿着台阶爬到B的最短路程是多少？3、在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图6-1-10堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米） 图6-1-10（四） 两“二次根式和的最小值”问题说明：形如“求的最小值，其中为常数”的题目，转化为几何问题再用勾股定理来解决.（两点距离公式）例6-1-4（2012湖北十堰改编）求代数式的最小值.规律：先转化为直角三角形，再根据两点之间、线段最短，借助勾股定理求最小值.感悟与体验 6-1-4 求函数的最小值.二、 垂线段最短说明：“垂线段最短”用的多，但人们意识到用它的少.只要涉及点到线、线到线距离，用的都是“垂线段最短”，如高、与圆有关的位置关系等. 例6-2-1 某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处，如图6-2-1，现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处，A与B相距150m，且B在A。