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1、2006年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知ABC，若对任意tR，则ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定2.设logx(2x2+x-1)logx2-1，则x的取值范围为() A.x1 B.x，x1C.x1D.0x13.已知集合A=x|5x-a0，B=x|6x-b0，a,bN，且ABN=2,3,4，则整数对(a,b)的个数为()A.20B.25C.30D.424.在直三棱柱中，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GDEF，则线段DF长度的取值范围为
2、()A. B. C.1,) D.5.设，则对任意实数a，b，a+b0是f(a)+f(b)0的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.数码a1,a2,a3,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为()A. B.C.102006+82006D.102006-82006二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7.设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x，则f(x)的值域是_.8.若对一切R，复数z=(a+cos)+(2a-sin)i的模不超过2，则实数a的取值范围为_.9.已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x-y+8+
3、2=0上，当F1PF2取最大值时，比的值为_.10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_cm3.11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+x2004)=2006x2005实数解的个数为_.12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为_.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n2，设M0(x0，y0)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k2，使(x0m
4、, y0m)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.14.将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和，记，问：(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最大值；(2)进一步，设对任意1i，j5有|xi-xj|2，问当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最小值.说明理由.15.设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x)，n=2,3,，M=aR|对所有正整数n，|fn(0)| 2.证明：.参考答案一、选择题1. 已知ABC，若对任意tR，则ABC一定为（C）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.答案不确定解令ABC=
5、，过A作ADBC于D，由，推出，令，代入上式，得，即，也即.从而有.由此可得.2.设logx(2x2+x-1)logx2-1，则x的取值范围为(B) A.x1 B.x，且x1C.x1D.0x1解因为，解得x，x1，由，解得0x1；或，解得x1，所以x的取值范围为x，且x1.3.已知集合A=x|5x-a0，B=x|6x-b0，a,bN，且ABN=2,3,4，则整数对(a,b)的个数为(C)A.20B.25C.30D.42解.要使ABN=2,3,4，则，即，所以数对(a,b)共有.4.在直三棱柱中，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GDEF
6、，则线段DF长度的取值范围为(A)A. B. C.1,) D.解建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1,0,0)(0t11)，E(0,1,)，G(,0,1)，D(0,t2,0)(0t21).所以，.因为GDEF，所以t1+2t2=1，由此推出0t2.又，从而有.5.设，则对任意实数a，b，a+b0是f(a)+f(b)0的(A)A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解显然为奇函数，且单调递增.于是若a+b0，则a-b，有f(a)f(-b)，从而有f(a)+f(b)0.反之，若f(a)+f(b)0，则f(a)-f(b)
7、=f(-b)，推出a-b，即a+b0.6.数码a1,a2,a3,a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为(B)A. B.C.102006+82006 D.102006-82006解出现奇数个9的十进制数个数有.又由于以及，从而得.二、填空题7.设f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x，则f(x)的值域是0,.解.令t=sin2x，则.因此，即得.8.若对一切R，复数z=(a+cos)+(2a-sin)i的模不超过2，则实数a的取值范围为-,.解依题意，得(对任意实数成立)故a的取值范围为-,.9.已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x-y+8+2=0上，当F
8、1PF2取最大值时，比的值为.解由平面几何知，要使F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于P点.设直线l交x轴于A(-8-2,0)，则APF1=AF2P，即APF1AF2P，即.(1)又由圆幂定理，|AP|2=|AF1|AF2|.(2)而从而有.代入(1),(2)得.10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水（)cm3.解设四个实心球的球心为O1,O2,O3,O4，其中O1,O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影.则ABCD是一个边长
9、为的正方形.所以注水高为1+.故应注水.11.方程(x2006+1)(1+x2+x4+x2004)=2006x2005实数解的个数为1.解(x2006+1)(1+x2+x4+x2004)=2006x2005.要使等号成立，必须，即x=1.但是x0时，不满足原方程.所以x=1是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为1.12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为0.0434.解第4次恰好取完所有红球的概率为.三、解答题13.给定整数n2，设M0(x0，y0)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在
10、整数k2，使(x0m, y0m)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点.证明因为y2=nx-1与y=x的交点为，显然有.若(x0m,y0m)为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点，则.记，则，(m2)(13.1)由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过(13.1)式可证明对于一切正整数m，是正整数.现在对于任意正整数m，取，使得y2=kx-1与y=x的交点为(x0m，y0m).14.将2006表示成5个正整数x1,x2,x3,x4,x5之和，记，问：(1)当x1,x2,x3,x4,x5取何值时，S取到最大值；(2)进一步地，设对任意1i，j5有|xi-xj|2，问当x1,x2
11、,x3,x4,x5取何值时，S取到最小值.说明理由.解(1)首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值.若x1+x2+x3+x4+x5=2006，且使取到最大值，则必有|xi-xj|1，(1i，j5). (*)事实上，假设(*)不成立，不妨假设x1-x22.则令，有.将S改写成.同时有.于是有.这与S在x1,x2,x3,x4,x5时取到最大值矛盾.所以必有|xi-xj|1，(1i,j5).因此当x1=402，x2=x3=x4=x5=401取到最大值.(2)当x1+x2+x3+x4+x5=2006且|xi-xj|2时，只有(I)402，402，402，400，400；(II)402，402
12、，401，401，400；(III)402，401，401，401，401；三种情形满足要求.而后面两种情形是在第一组情形下作调整下得到的.根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式变大.所以在x1=x2=x3=402，x4x5=400情形取到最小值.15.设f(x)=x2+a，记f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x)，n=2,3,，M=aR|对所有正整数n，|fn(0)| 2.证明：.证明(1)如果a-2，则.(2)如果-2a，由题意f1(0)=a，fn(0)=(fn-1(0)2+a，n=2,3,，则当0a时，().事实上，当n=1时，设n=k-1时成立(k2为某整数)，则对n=k，.当-2a0时，().事实上，当n=1时，设n=k-1时成立(k2为某整数)，则对n=k，有-|a|=afk(0)=(fk-1(0)2+aa2+a，注意到当-2a0时，总有a2-2a，即a2+a-a=|a|，从而有|fk(0)|a|，由归纳法，推出.(3)当a时，an=fn(0)，则对于任意n1，且.对于任意n1，则.所以，.当时，即fn+1(0)2.因此.综合(1)(2)(3)，我们有.10
