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1、 0专题九：圆锥曲线例 题如图，椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|BF|（1）求椭圆C的离心率；（2）若点M在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OPOQ求直线l的方程及椭圆C的方程【解析】（1）由已知|AB|BF|，即a，4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2，e（2）由（1）知a24b2，椭圆C：1设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由1，1，可得0，即0，即(y1y2)0，从而kPQ2，所以直线l的方程为y2，即2xy20由x24(2x2)24b20，即17x232x164b203221617(b24)0
2、b，x1x2，x1x2OPOQ，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，即5x1x24(x1x2)40，从而40，解得b1，椭圆C的方程为y21【答案】（1）；（2）2xy20，y21 基础回归解析几何是高考中必考的一个题型之一，并且分值占卷面的15%左右，多数是22分，常考两个客观题和一个主观题，客观题以考查基础为主，主要考查直线、圆、圆锥曲线和参数方程的基础知识解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，往往是有一定难度的综合题解析几何主要位于必修2中解析几何初步和选修1-1（文）中圆锥曲线 规范训练综合题（48分/60min）1（12分/15min）已知椭圆C：1(ab0
3、)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2xy60相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线yk(x2)(k0)与椭圆C的两个交点问：在x轴上是否存在定点E，使得2为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由【解析】（1）由e得，即ca又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2y2a2，且与直线2xy60相切，所以a，代入得c2所以b2a2c22所以椭圆C的标准方程为1（2）由得(13k2)x212k2x12k260设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2根据题意，假设x轴上存在定点E(m，0)，使得2()为定值，
4、则(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)要使上式为定值，即与k无关，则3m212m103(m26)，得m此时，2m26，所以在x轴上存在定点E，使得2为定值，且定值为【答案】（1）1；（2）满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ 是 否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ 是 否3.语言：答题学科用语是否精准规范？是 否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？是 否5.得分点：答题得分点是否全面无误？是 否 6.教材：教材知识是否全面掌握？ 是 否2（12分/15min）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
5、的椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围【解析】（1）由题意可设椭圆方程为1(ab0)，则(其中c2a2b2，c0)，且1，故a2，b1所以椭圆的方程为y21（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l：ykxm(m0)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得：(14k2)x28kmx4(m21)0，则64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，且x1x2，x1x2，故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，因为直线OP，P
6、Q，OQ的斜率依次成等比数列，所以k2，即m20又m0，所以k2，即k由于直线OP，OQ的斜率存在，且0，得0m22，且m21，设d为点O到直线l的距离，则d，|PQ|，所以S|PQ|db0)，半焦距为c由已知得，点F(1，0)，则c1设点M(x0，y0)(x00，y00)，由抛物线的定义，得：|MF|x01，则x0:从而y0，所以点M设点E为椭圆的左焦点，则E(1，0)，|ME|根据椭圆定义，得2a|ME|MF|6，则a3从而b2a2c28，所以椭圆C2的标准方程是1（2）设点D(m，m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y4x1，y4x2两式相减，得yy4(x1x2)，即因为D为线段
7、AB的中点，则y1y22m所以直线AB的斜率k从而直线AB的方程为ym(xm)，即2xmym22m0联立得y22my2m24m0，则y1y22m，y1y22m24m所以|AB|y1y2|设点P到直线AB的距离为d，则d所以SPAB|AB|d|64mm2|由4mm20，得0m4，令t，则SPAB(0t2)设f(t)(00，得0tb0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且ABAF2（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A，B，F2三点的圆恰好与直线l：xy30相切求椭圆C的方程；过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P(m，0)，
8、使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由【解析】（1）设B(x0，0)，由F2(c，0)，A(0，b)，知(c，b)，(x0，b)，cx0b20，x0由于，即F1为BF2的中点，故c2c，b23c2a2c2，故椭圆的离心率e（2）由（1）知得ca，于是F2，B，ABF2的外接圆圆心为，半径r|F1A|a，所以a，解得a2，c1，b，所求椭圆方程为1由知F2(1，0)，l：yk(x1)，联立化简得(34k2)x28k2x4k2120，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x22)，(x1m，y1)(x2m，y2)(x1x22m，y1y2)，由于菱形对角线互相垂直，则()0，直线MN的方向向量是(1，k)，故k(y1y2)x1x22m0，则k2(x1x22)x1x22m0，即k22m0由已知条件知k0且kR，m，0m，故存在满足题意的点P，且m的取值范围是【答案】（1）；（2）1，满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ 是 否 2.步骤：答题步骤是否与标答一致？ 是 否3.语言：答题学科用语是否精准规范？是 否 4.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？是 否5.得分点：答题得分点是否全面无误？是 否 6.教材：教材知识是否全面掌握？ 是 否欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
