第六节 对数与对数函数[考纲] (教师用书独具)1.理解对数的概念及其运算性质，懂得用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.理解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．(相应学生用书第22页)[基本知识填充]1．对数的概念如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝logaM(m，n∈R且m≠0)．(2)对数的性质①a＝N；②logaaN＝N(a＞0，且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)；②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数的定义、图像与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫作对数函数图像a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像有关直线y＝x对称．[知识拓展] 对数函数的图像与底数大小的比较多种对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y＝1交点的横坐标进行鉴定．如图261，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.图261[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(对的的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．( )(2)log2x2＝2log2x.( )(3)当x＞1时，logax＞0.( )(4)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相似．( )(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．(log29)·(log34)＝( )A． B．C．2 D．4D [原式＝·＝×＝4.]3．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则( )A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞bD [∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，∴c＞a＞b.]4．(教材改编)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范畴是( )A． B．(1，＋∞)C．∪(1，＋∞) D．C [当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.即实数a的取值范畴是∪(1，＋∞)．]5．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图像恒过的定点是________．(2,2) [当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的值为2，因此图像恒过定点(2,2)．](相应学生用书第23页)对数的运算 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )A． B．10 C．20 D．100(2)计算：÷100＝________. 【导学号：79140049】(1)A (2)－20 [(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.][规律措施] 对数运算的一般思路(1)拆：一方面运用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.(3)转化：ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效措施，在运算中应注意互化.[跟踪训练] (1)(·云南二检)已知函数f(x)＝lg(－2x)＋1，则f(3)＋f(－3)＝( )A．－1 B．0C．1 D．2(2)计算：(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________.(1)D (2) [(1)f(3)＋f(－3)＝lg(－6)＋lg(＋6)＋2＝lg[(－6)(＋6)]＋2＝lg 1＋2＝2，故选D．(2)原式＝·＝·＝·＝.]对数函数的图像及应用 (1)(·广东韵关南雄模拟)函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图像大体为( )(2)(·衡水调研)已知函数f(x)＝且有关x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一种实根，则实数a的取值范畴是________. 【导学号：79140050】(1)C (2)(1，＋∞) [(1)法一：∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，∴g(x)＝|log2(x＋1)|＝∴当x≥0时，函数g(x)单调递增，且g(0)＝0；当－1＜x＜0时，函数g(x)单调递减．故选C．法二：由f(2)＝4，即2a＝4得a＝2，∴g(x)＝|log2(x＋1)|，函数g(x)是由函数y＝|log2x|向左平移一种单位得到的，只有C项符合，故选C．(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表达直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一种交点．][规律措施] 运用对数函数的图像可求解的两类问题(1)对某些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常运用数形结合思想求解.(2)某些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，运用数形结合法求解. [跟踪训练] 已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图像如图262，则下列结论成立的是( )图262A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D [由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0＜a＜1，∵图像与x轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图像是由函数y＝logax的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c＜1.]对数函数的性质及应用◎角度1 比较对数值的大小 (·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则( )A．logac＜logbc B．logca＜logcbC．ac＜bc D．ca＞cbB [∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，logac＞logbc，A项错误；∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞0，∴logca＜logcb，B项对的；∵0＜c＜1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C项错误；∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减，又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D项错误．]◎角度2 解简朴的对数不等式 若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，当g(lg x)＞g(1)时，则x的取值范畴是________．∪(10，＋∞) [当g(lg x)＞g(1)时，f(|lg x|)＞f(1)，由f(x)为增函数得|lg x|＞1，从而lg x＞1或lg x＜－1，解得0＜x＜或x＞10.]◎角度3 探究对数型函数的性质 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)与否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，阐明理由．[解] (1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，函数f(x)的定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有解得a＝.故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.[规律措施] 对数值大小比较的重要措施(1)化同底数后运用函数的单调性.(2)化同真数后运用图像比较.(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较.易错警示：运用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意如下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定保证其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.此外，注意对数性质的正用、逆用、变形用.[跟踪训练] (1)已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则( )A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．c＞b＞a(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范畴为________．(1)B (2) [(1)a＝log29－log2＝log23，b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，由于函数y＝log2x是增函数，且2＞3＞，因此b＞a＞c，故选B．(2)当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由于f(x)＞1恒成立，因此f(x)min＝loga(8－2a)＞1，故1＜a＜.当0＜a＜1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是增函数，由于f(x)＞1恒成立，因此f(x)min＝loga(8－a)＞1，即a＞4，且8－2a＞0，a＜4，显然这样的a不存在．故a的取值范畴为.]。