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1、 升级增分训练 立体几何1某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是()A2B2C D2解析：选D在正方体ABCDA1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2,2，2，2，故选D2(20xx广东茂名二模)若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A34 B35C36 D17解析：选A由几何体的三视图知它是底面为正方形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，可把它补成一个长、宽、高分别为3,3,4的长方体，该长方体的外接球即为原四棱锥的外接球，所以4R232324234(其中R为
2、外接球的半径)，外接球表面积为S4R2343(20xx湖南长沙三校联考)已知点E，F，G分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1，DD1的中点，点M，N，Q，P分别在线段DF，AG，BE，C1B1上以M，N，Q，P为顶点的三棱锥PMNQ的俯视图不可能是()解析：选C当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与B1重合时，三棱锥PMNQ的俯视图为A；当M，N，Q，P是所在线段的中点时，三棱锥PMNQ的俯视图为B；当M，N，Q，P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥PMNQ，使其俯视图为D4(20xx河南中原名校联考)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，四棱锥SA
3、BCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为()ABC D解析：选D作如图所示的辅助线，其中O为球心，设OG1x，则OB1SO2x，由正方体的性质知B1G1，则在RtOB1G1中，OBG1BOG，即(2x)2x22，解得x，所以球的半径ROB1，所以球的表面积为S4R25(20xx湖南长沙四校一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A BC D解析：选B由三视图知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，PAD为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，四棱锥的高为，所求体积V6(20xx湖南郴州模拟)一只蚂蚁从正方体ABCDA1B1C1D1的顶
4、点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A BC D解析：选D由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现7(20xx福建省质检)在三棱锥PABC中，PA2，PC
5、2，AB，BC3，ABC，则三棱锥PABC外接球的表面积为()A4 BC D16解析：选D设三棱锥PABC的外接球的半径为R，在ABC中，因为AB，BC3，ABC，所以AC4在PAC中，因为PA2，PC2，AC4，所以PA2PC2AC2，所以APC，所以AC为三棱锥PABC的外接球的直径，所以R2，所以此三棱锥的外接球的表面积S4R2422168(20xx南宁模拟)设点A，B，C为球O的球面上三点，O为球心球O的表面积为100，且ABC是边长为4的正三角形，则三棱锥OABC的体积为()A12 B12C24 D36解析：选B球O的表面积为1004r2，球O的半径为5如图，取ABC的中心H，连接O
6、H，连接并延长AH交BC于点M，则AM6，AHAM4，OH3，三棱锥OABC的体积为V(4)23129如图，三棱锥VABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VAVC，已知其正视图的面积为，则其侧视图的面积为_解析：设三棱锥VABC的底面边长为a，侧面VAC的边AC上的高为h，则ah，其侧视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三角形，其面积为ah答案：10(20xx南昌一模)正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球的表面积为_解析：由题知，求四面体ABCD的外接球的表面积可转化为求长、宽、高分别为1,
7、1，的长方体的外接球的表面积，其半径R ，所以S4R25答案：511(20xx江西师大附中模拟)已知边长为2的菱形ABCD中，BAD60，沿对角线BD折成二面角ABDC的大小为120的四面体，则四面体的外接球的表面积为_解析：如图1，取BD的中点E，连接AE，CE由已知条件可知，平面ACE平面BCD易知外接球球心在平面ACE内，如图2，在CE上取点G，使CG2GE，过点G作l1垂直于CE，过点E作l2垂直于AC，设l1与l2交于点O，连接OA，OC，则OAOC，易知O即为球心分别解OCG，EGO可得ROC，外接球的表面积为28答案：2812(20xx贵州适应性考试)已知正三棱柱(底面是正三角形
8、，侧棱与底面垂直)的体积为3 cm3，其所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为_cm2解析：球O的表面积最小等价于球O的半径R最小设正三棱柱的底面边长为a，高为b，则正三棱柱的体积Va2b3，所以a2b12底面正三角形所在截面圆的半径ra，则R2r222，令f(b)，0b2R，则f(b)令f(b)0，解得b2，当0b2时f(b)0，函数f(b)单调递减，当b2时，f(b)0，函数f(b)单调递增，所以当b2时，f(b)取得最小值3，即(R2)min3，故球O的表面积的最小值为4(R2)min12答案：1213如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是A
9、D的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD的夹角的余弦值解：(1)证明：在题图1中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC即在题图2中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC，又BCDE，DE1BC，所以四边形BCDE为平行四边形，所以CDBE，所以CD平面A1OC(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得，(，0,0)设平面A1BC的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量为n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为，则得取y11，得平面A1BC的一个法向量为n1(1,1,1)；由得取y21，得平面A1CD的一个法向量为n2(0,1,1)从而cos |cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD的夹角的余弦值为
