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1、第16讲直角三角形重难点1 直角三角形性质的应用(xx南充)如图，在RtABC中，ACB90，A30，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点若BC2，则EF的长度为(B)A. B1 C. D.直角三角形中“斜边上的中线等于斜边的一半”，“30角所对的直角边等于斜边的一半”都能揭示直角三角形中的直角边、斜边上的中线与斜边的关系，运用这两个性质时，要注意它们之间的区别【变式训练1】(xx常德)如图，已知BD是ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，BAC90，AD3，则CE的长为(D)A6 B5 C4 D3重难点2勾股定理及其逆定理(1)(xx益阳)如图1，在ABC中，AC5，BC12，AB13
2、，CD是AB边上的中线，则CD6.5；图1【变式提问】(2)如图2，在ABC中，AB5，AC13，BC上的中线AD6，求BC的长图2【思路点拨】(1)对于原题来说，由勾股定理的逆定理可得ABC为直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD的长度；(2)对于变式，可延长AD到点E，使DEDA，连接BE，证得ABE是直角三角形，再利用勾股定理求BD，从而得BC.【自主解答】解：延长AD到点E，使DEAD，连接BE.在ADC和EDB中，ADCEDB(SAS)ACBE13.在ABE中，AB5，AE12，BE13，AB2AE2BE2.BAE90.在ABD中，BAD90，AB5，AD6，BD
3、.BC2.1已知三角形两边及第三条边上中线长，通常把中线延长并加倍，这样可利用三角形全等，把分散的条件集中在同一个三角形中2要求一条线段的长可以转化成求这条线段的一半或2倍在利用勾股定理的逆定理时，注意当两条较小边的平方和等于最大边的平方时，此三角形是直角三角形【变式训练2】(xx泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(D)A9 B6 C4 D3【变式训练3】(xx襄阳)已知CD是ABC
4、的边AB上的高若CD，AD1，AB2AC，则BC的长为2或2考点1直角三角形的定义1(xx柳州)如图，图中直角三角形有(C)A1个 B2个 C3个 D4个2具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是(D)AABCBABCCABC123DAB3C考点2直角三角形的两个锐角互余3(xx株洲)如图所示，在ABC中，B25考点3含30角的直角三角形的性质4如图，在ABC中，C90，A30，AB12，则BC(A)A6 B6 C6 D125(xx泰州)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，ACDABC90，E，F分别为AC，CD的中点，D，则BEF的度数为2703(用含的式子表示)6(xx广安)如图，
5、AOEBOE15，EFOB，ECOB于点C.若EC1，则OF2考点4直角三角形斜边上的中线的性质7(xx福建)如图，在RtABC中，ACB90，AB6，D是AB的中点，则CD38(xx徐州)如图，在RtABC中，ABC90，D为AC的中点若C55，则ABD35考点5勾股定理9(xx滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(A)A5 B6 C7 D810(xx绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(C)A0.7米 B1.5米 C2.2米
6、D2.4米11(xx德州)如图，OC为AOB的平分线，CMOB，OC5，OM4.则点C到射线OA的距离为312(xx吉林)如图，在平面直角坐标系中A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为(1，0)考点6勾股定理的逆定理13下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(B)A4，5，6 B1.5，2，2.5 C2，3，4 D1，314(xx曲靖)如图，在ABC中，AB13，BC12，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE，CD.如果DE2.5，那么ACD的周长是1815(xx毕节)如图，在矩形ABCD中，AD3，M是CD上的一点，将ADM沿直线
7、AM对折得到ANM.若AN平分MAB，则折痕AM的长为(B)A3 B2 C3 D616(xx娄底)如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6 cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60到AB位置，则AB中水柱的长度约为(C)A4 cm B6 cm C8 cm D12 cm17(xx枣庄)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是(B)A2个 B3个 C4个 D5个18(xx荆州)为了比较1与的大小，可以构造如图所示的图形进行
8、推算，其中C90，BC3，D在BC上，且BDAC1.通过计算可得1.(填“”“”或“”)19(xx福建)把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上若AB，则CD120(xx黄冈)如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)21(xx无锡)已知在ABC中，AB10，AC2，B30，则ABC的面积等于10或1522(x
9、x北京)如图所示的网格是正方形网格，则BACDAE.(填“”“”或“”)23(xx资阳)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，依此规律，则点A2 018的坐标是(0，21_009)24(xx湖州)在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为
10、格点弦图例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的面积为5.问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形FEGH的面积的所有可能值是9，13和49(不包括5)图1备用图25(xx长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里500米，则该沙田的面积为(A)A7.5 平方千米 B15 平方千米 C75 平方千米 D750 平方千米26(xx湘潭)九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ABC中，ACB90，ACAB10，BC3，求AC的长，如果设ACx，则可列方程为x232(10x)2
