角平分线和线段的垂直平分线知识点讲解：1. 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；定理2：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上2. 角平分线另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合3. 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做另一个的逆命题4. 如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理其中一个叫另一个的逆定理，虽然一个命题都有逆命题，但一个定理并不都有逆定理5. 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上6. 线段的垂直平分线另一种定义：线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合二、例题精讲例1•已知如图，在AABC中，AD是ZBAC的平分线，DE丄AB于E,证：AD丄EF分析:欲证AD丄EF,就要证ZAOE=ZAOF=ZEOF=90所以要考虑证AAEO竺AAFO由题中条件可知AAEO，AAFO已有一边（公共边）一角对应相等，只要证出AE=AF问题就解决了，所以需先证明AAED竺AAFD。
证明：TAD是ZBAC的平分线，DE丄AB,DF丄AC（已知）DE=DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）在RtAAED和RtAAFD中RtAAED竺RtAAFD（HL）,..AE=AF（全等三角形的对应边相等）\zeao=z^ac(B^])(卫°=卫Of公共辺丿在AAEO和AAFO中AAAEO^AAFO,?.ZAOE=ZAOF(全等三角形对应角相等):.ZAOE=ZEOF=90AADXEF(垂直定义)例2.写出下列定理的逆命题，并判断真假1) 同位角相等，两直线平行2) 如果x=3,那么x2=9.(3) 如果AABC是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，AABC的三个外角中只有两个钝角4)如果AABC竺AA'B'C',那么BC=B'C',AC=A'C',ZABC=ZA'B'C'解：(1)的逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题2) 的逆命题是：x2=9,则x=3它是一个假命题3)2=9,x=3或x=-3.(3) 的逆命题是：如果AABC的每个内角取一个对应外角时，若三个外角中只有两个钝角,那么AABC是直角三角形它是一个假命题，因为AABC还可能是钝角三角形4)的逆命题：如果在AABC和AA'B'C'中，BC=B'C'，AC=A'C'，ZABC=ZA'B'C'，那么AABC竺AA'B'C'。
这是一个假命题，因为有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等例3•已知：如图，M，N分别在ZAOB的两边上，求作一点P,使点P到M，N两点的距离相等，且到ZAOB两边的距离相等作法：1、连结MN,作线段MN的垂直平分线CD2、作ZAOB的平分线OE,交CD于P,点P即为所求例4•在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC,ZB的平分线交AC于D求证：BC=AC+AD分析：如图：BD为ZABC的平分线，DA丄AB，利用角平分线的性质，可以转化AD,方法是作DE垂直BC于E,则有AD=DE，容易得到DE=CE,AB=BE证明：过D作DE垂直BC于E，VBD为ZABC的平分线，ZA=90AD=DE（角平分线的性质）在RtAABD和RtAEBD中，］班）=班^公共辺丿.RtAABD竺RtAEBD(HL).AB=EB•••AABC为等腰直角三角形（已知），.・・ZC=45DE垂直BC于E,.・.ZDEC=90°,.・.ZC=ZEDC=45°,.・.DE=EC（等腰三角形的性质）.BC=BE+CE=AB+DE=AC+AD方法二：如图，延长BA到M,使得AM=AD，连接说明：这种方法是利用角平分线的性质作DE丄BC,实际上是在长的线段BC上，作出了BE=AB=AC,所以只要再证明AD=EC就可以证明结论。
相应的，还可以将线段AB补长，方法如下证明提示：只要证明三角形BDM和三角形BDC全等即可容易证明ZM=ZC=45°）例5.已知：如图，Z1=Z2,BC=BD求证：AC=ADO分析：注意利用图形的对称性，连结CD,只须证明直线AB是线段CD的垂直平分线证明：连结CD交AB于点E，BC=BD,Z1=Z2,•••BE是等腰ACBD顶角平分线(三角形角平分线定义)•••BE垂直平分CD(等腰三角形顶角平分线平分且垂直底边)直线AE是线段CD的垂直平分线，又••点A在直线AE上，AC=AD(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等)说明：还可以证明ACBA和ADBA全等小结：主要内容是角平分线的性质定理和它的逆定理以及线段垂直平分线的性质定理及其逆定理能够利用它们证明两个角相等或两条线段相等；对于原命题和逆命题的关系，要能说出题设和结论都比较简单的命题的逆命题同步练习：一、写出下列命题的逆命题，并判断真假1) 对顶角相等；(2) 两直线平行，同位角相等3) 如果a=-b,那么lal=lbl4) 若a・b=O，则a=0.二、填空题：在等腰AABC中，AB=AC,ZBAC=120AB的垂直平分线交BC于D,且DC=6厘米，则ZDAC=,BC=，点D到AB的距离是，点D到AC的距离为。
三、已知如图，在RtAABC中，ZC=90°，AB的垂直平分线交BC于D，ZCAD:ZDAB=1:2,求ZB的度数四、如图所示，已知，三角形ABC中，AB>AC,P在AABC的角平分线AD上求证:AB-AC>BP-PC.五、如图：BF丄AC,CE丄AB,CE、BF交于D，且BD=CD求证：D在ZBAC的平分线上六、如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC，AD是ZBAC的平分线，DE丄AB，垂足为E求证:ADBE的周长等于AB七、在AABC中，已知AB的垂直平分线交AC于E，AABC和ABEC的周长分别为24厘米和14厘米，求AB长答案:一、1.若两个角相等，则这两个角是对顶角，假命题2．同位角相等，两直线平行，真命题3.如果lal=lbl，那么a=-b，假命题4．若a=0,则ab=0真命题二、90°,9cm,1.5cm,3cm三、ZB=36四、提示：在AB上取AE=AC,在ABEP中，BP-PE
七、提示：如图，连接BE,BE=AE,AD=BD,•••三角形BEC的周长等于BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC,AB=24-14=10(cm)角的平分线考点扫描掌握角平分线的性质定理和它的逆定理；能够利用它们证明一些相应的问题；理解互逆命题和互逆定理的概念．名师精讲1．角平分线性质定理及其逆定理性质定理：角的平分线上任意点到这个角的两边的距离相等；逆定理：到一个角的两边距离相等的点．在这个角的平分线上．由此可知,角的平分线是到两边的距离相等的所有点的集合．注意：要分清角平分线性质定理和它的逆定理的题设和结论,这两个定理,一个是性质,一个是判定,它们是有区别的,这两个定理的题设和结论正好相反．2．逆命题的定义也可以叙述为：交换一个已知命题的题设和结论所得的新命题叫做已知命题的逆命题．每个命题都有它的逆命题,原命题和逆命题两者是相对的．要注意真命题的逆命题不一定是真命题,假命题的逆命题也不一定是假命题．3．根据一个已知命题表述出它的逆命题是本节的一个难点．这就要求在对原命题深刻理解的基础上,把原命题写成“如果……,那么……”的句式,然后把两部分的内容交换,就得到它的逆命题．说明：中考中单独测验角的平分线的性质的题目较少，往往把角平分线与其它知识组合成较复杂的题目．线段的垂直平分线考点扫描1．理解线段垂直平分线定理及逆定理的意义；2．用垂直平分线性质和判定定理解决有关的问题．名师精讲定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上注意：性质定理反映了线段垂直平分线上的点的纯粹性，逆定理反映了垂直平分线的完备性．线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合．2．本节重点是线段垂直平分线定理、逆定理及它们的应用．难点是理解两个定理的互逆关系．前者应用于证两条线段相等；后者应用于证明两线垂直或一线段被某直线平分．另外应用逆定理还可确定具有某种性质的点的位置，从而作出图形．中考典例1.（云南昆明）如图，在AABC中，AB=AC,DE是AB的垂直平分线，ABCE的周长为14,BC=6,则AB的长为0考点：垂直平分线的性质评析：因为DE是AB的中垂线，可知AE=BE,又ABCE的周长为14,BC=6,所以BE+EC=8,而BE+EC=AE+EC=AC=AB=8.真题专练1.（安徽省）在AABC中，ZA=50°,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于D,则ZDBC的度数是答案：1、15°角平分线的使用一、平分线的应用几何题中，经常出现“已知角的平分线”这一条件。
这个条件一般有下面几个方面的应用（1）利用“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的性质，证明两条线段相等2）利用角是轴对称图形，构造全等三角形3）构造等腰三角形二、应用举例：1. 利用角平分线的定义例1.如图，已知AB=AC,AD//BC，求证AD平分ZEAC证明：因AB=AC，故ZB=ZCo又因AD//BC，故Z1=ZB,Z2=ZC,故Z1=Z2，即AD平分ZEACo2. 利用等腰三角形三线合一例2•正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分ZDAEo证明：连结EF并延长，交AD的延长线于G,则AFDG^AFCE,故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE°又因EF=GF，故AF是等腰三角形的底边上的中线，于是AF平分ZDAEo3. 利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上例3•如图，已知AABC的两个外角ZMAC、ZNCA的平分线相交于点P,求证点P在ZB的平分线上证明：过P作PD丄AB,PE丄AC,PF丄BC,垂足分别是D、E、F,因P在ZMAC的平分线上，故PD=PEo又因P在ZACN的平分线上，故PE=PF，于是PD=PF,故点P在ZB的平分线上。
4. 和平行线结合使用，容易得到相等的线段基本图形：ED〃BC,P是ZCAB的平分线上一点，PD〃AB，则有Z1=Z2=Z3,所以AD=DP例4•如图，AABC中，ZB的平分线与ZC外角的平分线交于D,过D作BC的平行线交AB、AC于E、F,求证EF=BE-CF分析：由BD平分ZABC，ED〃BC,不难得出BE=DE要证EF=BE-CF，就转化为要证EF=DE-CF下面要证FD=FC，即要证ZFCD=ZFDCO由CD平分ZACG，很容易得出ZFCD=ZFDC，从而问题得证5. 利用角平。