1、根轨迹法简介 12、林士谔—赵访熊法（劈因子法） 33、根轨迹的在系统性能分析 44、心的体会 8附录1 9附录 2 11参考文献 141、根轨迹法简介1948年，W.R.Evans提出了一种求特征根的简单方法，并且在控制系 统的分析与设计中得到广泛的应用这一方法不直接求解特征方程，用作 图的方法表示特征方程的根与系统某一参数的全部数值关系，当这一参数 取特定值时，对应的特征根可在上述关系图中找到这种方法叫根轨迹法 根轨迹法具有直观的特点，利用系统的根轨迹可以分析结构和参数已知的 闭环系统的稳定性和瞬态响应特性，还可分析参数变化对系统性能的影响 在设计线性控制系统时，可以根据对系统性能指标的要求确定可调整参数 以及系统开环零极点的位置，即根轨迹法可以用于系统的分析与综合利用根轨迹分析和设计闭环控制系统的图解方法特征方程的根随某 个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹在控制 系统的分析中，对特征方程根的分布的研究，具有重要的意义当特征方 程的次数不高于2时，其根可用解析方法来简单地定出；但当特征方程的次 数高于2时，求根过程将变得相当复杂美国学者 W.R.埃文斯在1948年 提出的根轨迹方法，为简化特征方程的求根过程提供了一种有效的手段。
在把根轨迹技术应用于控制系统的分析时，常取系统的开环增益为可变参 数，据此作出的根轨迹，表示闭环控制系统的极点在不同开环增益值下的分 布控制系统的极点在复数平面上的位置与系统的稳定性和过渡过程性能 有密切的关系根轨迹的建立，为分析控制系统在不同开环增益值时的行 为提供了方便的途径对于设计控制系统的校正装置，根轨迹法也是基本 方法之一根轨迹法和频率响应法被认为是构成经典控制理论的两大支柱对于图1中的控制系统，用G(s)和H(s)分别表示系统前馈通道和反馈 通道中部件的传递函数，并且当s=0时它们的值均为1,而K表示系统的开 环增益，则控制系统的根轨迹条件可表示为：相角条件：开环传递函数KG(s)H(s)的相角值 {KG(s)H(s)} =±1800(2k+1) (k = 0,1,2,…)幅值条件：开环传递函数KG(s)H(s)的模丨KG(s)H(s)|= 1系统的根 轨迹，就是当开环增益K由零变化到无穷大时，由满足相角条件和幅值条 件的s值在复数平面上所构成的一组轨迹a KG(s) H(s)4 图一1控制系统根轨迹的精确化在有些情况下，有必要对按基本规则画出的根轨迹的粗 略形状，特别是位于虚轴附近的部分，进行修正，使之精确化。
实现精确 化的一条比较简便的途径，是采用一种由埃文斯设计的所谓对数螺旋尺的 专用工具根轨迹的计算机辅助制图70年代以来，随着电子计算机的普及，利用 计算机对根轨迹的辅助制图的算法和程序都已建立，这大大减轻了系统分 析和设计人员的繁重工作根轨迹的应用根轨迹的应用主要有三个方面1、用于分析开环增益(或其他参数)值变化对系统行为的影响：在控制 系统的极点中，离虚轴最近的一对孤立的共轭复数极点对系统的过渡过程 行为具有主要影响，称为主导极点对在根轨迹上，很容易看出开环增益 不同取值时主导极点位置的变化情况，由此可估计出对系统行为的影响2、 用于分析附加环节对控制系统性能的影响：为了某种目的常需要 在控制系统中引入附加环节，这就相当于引入新的开环极点和开环零点 通过根轨迹便可估计出引入的附加环节对系统性能的影响3、 用于设计控制系统的校正装置：校正装置是为了改善控制系统性 能而引入系统的附加环节，利用根轨迹可确定它的类型和参数设计2、林士谔—赵访熊法(劈因子法)由于解二次方程是容易的，因此在求实系数代数方程f(x)二xn+a xn-计… +a x+a =01 n－1 n的复根时，如果找出f(x)的一个二次因子，就等于找到方程的一对复根.设f(x)的一个近似二次因子(任意选取)为w (x)=X2+px+q可用下述方法使它精确化：(1) 用® (x)去除f (x)，得到商式Q(x)和余式R(x)，即f(x)= w(x)Q(x)+R(x)=(x2+px+q)(xn-2+b]Xn-3+・..+札 3x+bn 2)+(r1 x +r2)式中商式与余式的系数可用下面的递推公式算出：b =a -pb -qb , k=l,2,… ,nk k k-1 k-2b =0, b=1-1 0r=b =a -pb -qb1 n-1 n-1 n-2 n-3r =b +pb =a-qb2 n n-1 n n-2(2) 用® (x)去除xQ(x)得到余式R[1](x)=Rx＋R11 21式中R ,R，由下面的递推公式算出：11 21c=b-pc -qc , k=1,2, … ,n-3k n k-1 k-2c =0, c=1-1 0R =b -pc -qc11 n-2 n-3 n-4R=-qc21 n-3(3) 用® (x)去除Q(x)得到余式R[2](x)=Rx＋R12 22式中R ,R，由下面的公式算出：12 22R =b -pc -qc12 n-3 n-4 n-5R =b -qc21 n-2 n-44)解二元一次线性方程组得到u, u.(5)修正后的二次式为w [i] (x)=X2+(p+u)x+(q+ U)如果它还不够精确，再重复(1)至(5)的步骤进行修正，直到足够精确为止.林士谔一赵访熊法求实系数代数方程的复根，其优点是避免了复数运算，缺 点是程序比较复杂.3、根轨迹的在系统性能分析控制系统的稳定性、动态特性都与特征方程的根(即闭环极点)在S平面上 的分布有密切关系。
时域分析中，依靠求解输入 输出微分方程或状态方程， 只能确定控制系统闭环极点的具体分布若要研究参数变化对控制系统性能的影 响，特别是某些参数连续变化对系统性能的影响，依靠求解特征方程的方法来确 定闭环极点的位置随参数变化的情况，计算量很大，有时甚至是不可能的现在, 我们则可以通过一种简便的图解方法，很方便地给出特征方程的根随参数变化在 S平面上分布位置变化的情况我们先看下面的例子例1:设单位反馈系统的开环传递函数为：G (s )H( s)=K (s +1)s (s + 2)当开环放大系数K从零到无穷大变化时，系统的特征根在s平面上分布情况：系统有两个开环极点s = 0 ， s =一21 2系统的闭环传递函数为小 /、 Y(s) G(s)H (s) ks + kG (s)= = =—o X(s) 1 + G(s)H (s) s 2 + (k + 2) + k系统的特征方程为s 2 + (k + 2) s + k = 0特征方程的根s = -0.5k — 1 + Jk 2 + 41 s = -0.5k — 1 — \k 2 + 42可见特征根在s平面的位置与K有关K>0时，五和亞都成为共轭复数。
s = —0.5k — 1 ±、k2 + 41,2引左具有相同的负实部，且为常数，而虚部则随K的增加其绝对值也增加 图--2给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时，相应位置的变化情况这种放大系数K从零到无穷大变化时，特征方程的根在s平面上相应变化 的轨迹，称为根轨迹根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况根据图1 的根轨迹图，我们可以知道，不论K怎样变化，系统始终是稳定的因为全部 根轨迹都分布在s平面左半边图一2和图一3分别为描点图像和实际图像根轨迹1 I i i i i0.8 - -0.B - -0.4 - -0.2 - -匡 0 --0.2 - --0.4 - ・-C.6 - -C B -〔 I I I I I I-100 -80 巧 4D 20 0 2D图一2例1描点图Roat LocusJ8w-1yueurarauu-4-2 -1.S -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.S -O.e -0.4 -0.2 0Real Axis图一3例1实际图自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确定；其动态性能与系统的闭 环极点和零点在S平面上的分布有关因此确定控制系统闭环极点和零点在S 平面上的分布，特别是从已知的开环零极点的分布确定闭环零极点的分布，是对 控制系统进行分析必须首先解决的问题。
根轨迹法是解决上述问题的另一途径, 它是在已知系统的开环传递函数零极点分布的基础上，研究某一个和某些参数的 变化对系统闭环极点分布的影响的一种图解方法由于根轨迹图直观、完整地反 映系统特征方程的根在S平面上分布的大致情况，通过一些简单的作图和计算, 就可以看到系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势这对分析研究控制系统 的性能和提出改善系统性能的合理途径都具有重要意义例2：已知单位反馈系统的开环传递函数为kG (s )H( s)=s( s +1)( s + 2)( s + 3)根据系统的根轨迹分析系统的稳定性，并进行结果分析根轨迹与虚轴相交时，K=10所以，当开环放大系数K的范围为OvKrvlO系统是稳定的描点根轨迹图像如图一4所示，实际根轨迹图像如图一5所示根轨逝-2.8 -2 -15 -1 -0.5 0 0.8 15 2 52.1.5o.o5051-25-图一4例2描点图Roat Locus-4 -2 0Re-a I Axis2 4c- 4 s z-6图—5 例 2 实际图4、心的体会通过本次针对基于劈因子法的根轨迹分析与仿真开展课程设计，我深刻理解根轨迹的在系统性能分析中的意义和作用，掌握劈因子方法的思想和算法实现。
而且对于MATLAB知识有了进一步的了解附录1算法的程序流程图NYY满足精度N结束存在二次因子R u + R v = r< 11 12 1R u + R v = rJ 21 22 2求解u,vF(x)=Q(x)w(x)+R(x) w(x)除以 xQ(x)的余数 R[1](x) w(x)除以Q(x)的余数R[2](x)输入a为f(x)系数，拟定w(x)求二次因子根；a=Qw[i](x)=x2+(p+u)x+(q+v)开始求根，输出附录 2主函数 p=[1];q=[1,1,0];s=[1];t=[1]; %输入fz=cheng(p,s);fm=cheng(q,t); fz=buzero(fz,length(fm)); zl=zeros(1,length(fm)-1);for k=0:0.01:1000z=pyz(k.*fz+fm); %劈因子求根n=length(z);for j=1:nshi=sqrt((real(z(j))-real(zl(j)))人2); xu=sqrt((imag(z(j))-imag(zl(j)))人2);switch (shi>=0.01|xu>=1)case 0 break;case 1plot(real(z(j)),imag(。