九年级数学 第9讲 几何问题探究-与中点相关问题教案教学过程几何问题探究——与中点相关问题知识点1.中点的定义2.中点的表示方法：等量关系、倍的关系、分的关系3.三角形中线的作用：等分线段4.全等三角形的中线的作用：倍长中线（延长中线至*，连接**，证明三角形全等）教学目标熟练掌握有中点为背景的全等三角形证明的方法.教学重点在实际问题中能对中线倍长法模型的建立，利用中线倍长法解决问题.教学难点利用中线倍长法构造全等三角形解决问题.教学过程三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：1. 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半2. 等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）中线中位线相关问题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见三、知识讲解考点1 三角形的中位线1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线2. 三角形中位线的定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半3. 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边。
考点2 全等三角形的概念及其性质1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2.性质定理：（1）全等三角形的对应角相等 （2）全等三角形的对应边相等3）能够完全重合的顶点叫对应顶点 （4）全等三角形的对应边上的高对应相等5）全等三角形的对应角的角平分线相等6）全等三角形的对应边上的中线相等7）全等三角形面积和周长相等 （8）全等三角形的对应角的三角函数值相等考点3 全等三角形的解题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等因此我们可以来采用逆向思维的方式，要想证明全等，需要什么条件例如：要想证明某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等，然后把所得到的等式运用（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）证明三角形全等，有时还需要辅助线分析完毕后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象，同时注意隐含的条件四、例题精析考点一 倍长中线问题例1 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF，求证：AC=BE．例2 如图所示， △OAB，△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°.(1) 如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点，求证：OM⊥BC.(2) 如图2，在图1的基础上，将△OCD绕点O逆时针旋转α（α为锐角），M为线段AD的中点.①线段OM与线段BC是否存在某种确定的数量关系？写出并证明你的结论；②OM⊥BC是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.考点二 构造中位线问题例3如图，在△ABC和△PQD中，AC = kBC，DP = kDQ，∠C =∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连结EQ交PC于点H．猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想．例4 如图，在△ABC和△DAE中，AB=k AC，AD=k AE（k>1）且∠BAC=∠DAE=α，H为BC的中点，G为ED的中点，F为CD的中点，连结FG，FH，请探究FH与FG的关系，并证明你的结论。
说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以选取（1）（2）中的一个条件完成你的探究（1）k=1；（2）点D在BA上，点E在AC 上考点三 证明中点问题例5如图，△ABC≌△BDE，M、M′分别为AB、DB中点，直线MM′交CE于K．试探索CK与EK的数量关系．考点四 与直角三角形斜边中点相关问题例6如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由课程小结本节课主要研究了与中点相关的问题，如若遇到一个中点，可先考虑倍长中线，注意二次全等问题；如若遇到多个中点，可先考虑尝试中位线，当然倍长中线也可以尝试考虑；如若遇到直角三角形和中点同时出现，那么一定要记得“直角三角形斜边的中线是等于斜边一半“的这条性质。
几何问题的探究，是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重例1【规范解答】延长到，使，连结∵，，∴∴．又∵，∴∴∴，∴． 【总结与反思】作倍长AD，得到，可以把AC转移到△BDG中，利用等腰的性质得到两边相等例2【规范解答】1、证明：∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝90°∴△AOD ≌△BOC，∴∠OAD＝∠OBC，∵M是AD中点，∴OM＝AM，∴∠OAD＝∠MOA，∴∠OBC＝∠MOA ∵∠MOA+∠MOB＝∠AOB＝90°，∴∠OBC+∠MOB＝90°∴∠BMO＝180°-90°＝90°，∴OM⊥BC2、结论：BC＝2OM,OM⊥BC延长OM至E，使OM＝EM，连接AE，又AM＝DM，∠AME＝∠DMO∴△AME ≌△DMO，∴AE＝DO，∠EAM＝∠ODM∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∴OA＝OB，① OD＝OC，∠AOB＝∠DOC＝90°∴AE＝OC②∵∠OAE＝∠OAD+∠EAM＝＝∠OAD+∠ODM＝180°-∠AOD∠BOC＝∠AOB+∠COD-∠AOD＝90°+90°-∠AOD＝180°-∠AOD∴∠OAE＝∠BOC，③由①②③可得，△OAE≌△BOC，∴OE＝BC，∠AOE＝∠OBC，∵OE＝2OM，∴BC＝2OM。
延长BC交OE于F，∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝90°，∴∠OBC+∠BOE＝90° ∴∠BFO＝180°-90°＝90°，∴OE⊥BF即OM⊥BC总结与反思】（1）根据等腰直角三角形的性质，可证△AOD≌△BOC，根据全等三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质即可证明OM⊥BC;（2）延长OM至E，使OM＝EM，连接AE，先证明△AME ≌△DMO ，再证明△OAE≌△BOC 即可证明BC＝2OM，延长BC交OE于F，推导出∠BFO=90°，即可证明OM⊥BC.例3【规范解答】证明： 取BC中点M，连接DE，DM∵ D、E分别是AB、AC的中点∴DM=AC 且 DM∥AC, DE=BC 且 DE∥BC，∴∠C=∠MDE又∵∠PDQ=∠C，∴∠PDQ=∠C ，又∵ ∠PDQ+∠QDM =∠MDE+∠QDM，∴∠PDM=∠QDE又∵AC = kBC，∴DM = kDE，又∵DP= kDQ，∴△PDM∽△DQE，∴∠DEQ=∠DMP，又∵DE∥BC，DM∥AC，∴∠DEQ=∠EHC, ∠DMP=∠C，∴∠EHC=∠C，∴EH=EC=AC【总结与反思】本题中出现了两个中点，由所给信息，运用中位线的知识我们可以构造出△PDM∽△DQE ，从而得到角的关系，便可以证明EH与AC的数量关系了。
例4【规范解答】证明：连接BD、CE∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE即 ∠BAD=∠CAE又∵AB=kAC , AD=kAE，∴ △ACE∽△ABD，∴BD= kCE又∵H为BC的中点，G为ED的中点，F为CD的中点，∴HF=BD, FG=CE∴HF= kFG【总结与反思】本题要我们探究FH与FG的关系，观察图形及所给的已知信息，我们可以首先考虑尝试运用中位线，连接BD，CE，要探究FH与FG的关系便可以转化为探究BD及CE的关系，我们可以通过证明△ACE∽△ABD便可以得到BD及CE的关系，同样就可以得知FH与FG的关系了例5【规范解答】CK与EK的数量关系为相等，理由如下：延长MK到N，使得NK=MM′，连接EM′、CM、EN，如图，可得NK+KM′=MM′+M′K，即NM′=MK，∵△ABC≌△BDE，M、M′分别为AB、DB中点，∴EM′=CM，BM′=BM，∠EM′D=∠CMB，由BM′=BM得：∠BM′M=∠BMM′=∠KM′D，∴∠NM′E=∠CMK，在△EM′N和△CMK中，NM′=MK，∠NM′E=∠CMK，EM′=CM，∴△EM′N≌△CMK，（SAS）∴CK=EN，∠N=∠CKM=∠NKE，∴EK=EN，∴CK=EK．【总结与反思】由已知条件不能得到相关条件，可作辅助线，延长MK到N，使得NK=MM′，连接EM′、CM、EN，再根据辅助条件证明△EM′N≌△CMK即可．例6【规范解答】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE；（2）（1）中的结论仍然成立．如图2，连接CF，延长EF交CB于点G， ∵∠ACB=∠AED=90°，∴DE∥BC，∴∠EDF=∠GBF，又∵∠EFD=∠GFB，DF=BF， ∴△EDF≌△GBF，∴EF=GF，BG=DE=AE，∵AC=BC，∴CE=CG，∴∠EFC=90°，CF=EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF=45度，∴CE=FE；（3）（1）中的结论仍然成立． 如图3，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF=BF，∴FM∥AB，且FM=AB，∵AE=DE，∠AED=90°，∴AM=EM，∠AME=90°，∵CA=CB，∠ACB=90°∴CN=AN=AB，∠ANC=90°，∴MF∥AN，FM=AN=CN，∴四边形MFNA为平行四边形，∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA，∴∠EMF=∠FNC，∴△EMF≌△FNC，∴FE=CF，∠EFM=∠FCN，由MF∥AN，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°，∴∠FCN+∠PFC=90°，∴∠EFM+∠PFC=90°，∴∠EFC=90°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∴CE=FE．【总结与反思】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形。