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1、相似三角形基本类型一、“ X” 型.二、“子母”，“ A 型”，“斜 A” .三、“ K”型四、共享型一、圆中相似三角形的判定例1、如图， ABC内接于。O, AD是AABC的边BC上的高，AE是。O的直径，连接 BE, ABE与 ADC相似吗？请证明你的结论.例2、如图，AABC内接于。O,/BAC的平分线分别交。 O,BC于点D,E,连结BD.请找出图中各 对相似三角形，并给出证明.变式：1 .(滨州)如图，直线 PM切。0于点M ,直线PO交。O于A, B点，弦AC II PM连接OM BC.求证：(1) AABCA POM ； (2) 2OA2=OPBC .2 .(日照)如图，在 AB
2、C中，AB=AC,以AB为直径的。交AC与E,(1) D是BC的中点；(2) ABECs A ADC ;b(3) BC2=2AB CE二、利用圆中相似三角形证明圆中的比例线段 例3、如图，在圆内接四边形 ABCD中，CD为/ BCA的外角的平分线，F为?？一点，BC=AF ,延长DF与BA的延长线交于 E.(1)求证： ABD为等腰三角形.(2)求证：ACAF=DFFE .变式：如图，BD为。的直径，AB=AC,AD交BC于点E,AE=2, ED=4,求证：AABEsA ADB;求AB的长；(3)延长DB到F,使得BF = BO,连接FA,试判断直线FA与。O的位置关系，三、利用圆中相似进行计
3、算例4、如图，已知AB是。0的直径，点C在。0上，过点C的直线与 AB的延长线交于点 P, AC=PC / COB=2 PCB.(1)求证：PC是。的切线；(2)求证：AB =2BC;(3)点M是弧AB的中点，CMX AB于点N,若AB=4,求MN- MC的值.变式1:如图，已知 R tAABC, /ABC = 90 ,以直角边 AB为直径作 O,交斜边 AC于点D, 连结BD.(2)AD = 3, BD = 4,求边 BC 的长；BC的中点E,连结ED,试证明ED与OO相切.变式2:如图，在锐角 ABC中，AC是最短边；以 AC中点O为圆心,交BC于E,过。作OD / BC交。于D ,连结
4、AE、AD、DC .AACBEO12O,(1)求证：d是Ae的中点;(2)求证：/ DAO =/ B +/ BAD ;S1(3)若CEF -,且 AC=4,求 CF 的长.SA OCD 2四、圆的有关线段与相似三角形的综合运用例5、如图，点P为 ABC的内心，延长AP交 ABC的外接圆于 D,在AC延长线上有一点 E,满足AD 2 =AB - AE ,求证：DE是。O的切线变式1:(日照)如图， AB是。0的直径，AC是弦，CD是。0的切线，C为切 于点D.求证：(1) /AOC=2/ACD; (2) AC2 = ABAD.34.(2009年中山)正方形ABCD边长为4, M、N分别是BC、
5、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN 垂直，(1)证明：RtAABM s RtAMCN ；(2)设BM x ,梯形ABCN的面积为y ,求y与x之间的函数关系式；当 M点运动到什么位置时，四边形 ABCN面积最大，并求出最大面积；(3)当M点运动到什么位置时 RtAABM s RtAAMN ,求x的值.15. (2012自贡)正方形 ABCD的边长为1cm, M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM XMN ,当BM=cm时，四边形 ABCN的面积最大，最大面积为 _cm2.一4.如图，已知 E是矩形 ABCD的边CD上一点，BF AE于F,试说明：ABFsead.1
6、2 .已知：P是正方形 ABCD的边BC上的点，且 BP=3PC , M是CD的中点，试说明： ADM s* MCP .17 .已知，如图，在边长为 a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边 AB上找一点N (不含A、B),使得4CDM与AMAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由.19 .如图所示，梯形 ABCD 中，AD / BC, ZA=90 , AB=7 , AD=2 , BC=3 ,试在腰 AB上确定点P的位置，使得以P, A, D为顶点的三角形与以 P, B, C为顶点的三角形相似.18. (2009泰安)如图， ABC是直角三角形，/ ACB=9 0 , CDXAB于
7、D, E是AC的中点， ED的延长线与CB的延长线交于点 F。(1)求证：FD2=fb FC。(2)若G是BC的中点，连接 GD, GD与EF垂直吗？并说明理由。29. (2009肇庆).如图，在4ABC中，AB AC, A 36,线段AB的垂直平分线交 AB于D,交AC于E,连接BE.（1）求证：/ CBE=36。；（2）求证： AE2 ACgEC .15 .如图，在4ABC中，AB=10cm , BC=20cm，点P从点A开始沿 AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，4PBQ与4ABC相似.2
8、0 . AABC和4DEF是两个等腰直角三角形，/A=/D=90 , DEF的顶点E位于边BC的中点上.（1 ）如图1 ,设DE与AB交于点 M , EF与AC交于点N ,求证： BEM ACNE ;（2）如图2, WADEF绕点E旋转，使得 DE与BA的延长线交于点 M, EF与AC交于点N,于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.10. （8 分）（2015 广东茂名 24, 8 分）如图,RtAABC 中，ZACB=90 , AC=6cm , BC=8cm .动 点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点 A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0vtv!），连接MN .3（1）若 BMN与 ABC相似，求t的值；(2)连接AN , CM ,若AN CM ,求t的值.
