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1、写在教学前面的话高等数学学习建议1、首先，要花点时间全面浏览一下教材，了解一下高等数学这门课程主要有哪几块内容组成，每一块主要讲些什么东西。你们不是初学者，相信对高等数学不会十分陌生，即便是有些内容没有学过2、其二，要听好课，最好不要缺课，你的自学能力再强，我看还是听老师讲一遍的效果好，有经验的老师会告诉你事情的来龙去脉，重点在哪，难点如何处理等等。断断续续的听课，高兴就来，不高兴就不来，听课内容不连续，麻烦和问题会越积越多；3、围绕重点多做习题。数学练习真的太多太多，要围绕重点多做些习题，重点内容所配置的习题往往包含了几个知识点，技巧性也比较高，这些习题要多做些，力求达到熟能生巧的目的；4、
2、对一些暂时搞不清的问题，不要急于求成一次就把它弄明白，少数问题搞不懂，少量的题目不会做，摆一摆放一放，不要紧，学到后面了回过头来，你会什么都明白了；5、还有一点，你要善于总结（思维导图），一个章节、一个单元学完了，你要用自己习惯的方式做好总结，主要内容有哪些？主要的公式定理？主要的计算方法等等。微积分章节授课次序：1、 第一章 函数、极限与连续2、 第九章 无穷级数3、 第二章 导数与微分4、 第三章 导数的应用5、 第六章 多元函数微分学6、 第四章 不定积分7、 第八章 微分方程8、 第五章 定积分及其应用9、 第七章 二重积分第一章 函数、极限和连续第一节 函数一、 函数的概念1、函数的
3、概念：（1）函数两要素：和（2）判断两个函数是否为同一个函数的方法：只要两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是同一个函数。2、单值函数和多值函数 单值函数的特点：一一对应3、显函数和隐函数（1）形如的函数称为显函数。（2）由方程所确定的函数称为一个隐函数。有些微分方程的通解就是隐函数。（3）隐函数有的可以显化，如（多值函数）而有些隐函数不能显化，如4、分段函数：在自变量的不同取值范围内，函数不能用一个表达式表示，而是要用两个或者两个以上的表达式表示。这样的函数称为分段函数。5、函数的定义域通常是指使函数表达式有意义的自变量的取值范围。求函数的定义域时，一般要注意：（1）如果，
4、要求（2）如果（为正整数），要求（3）如果，要求（4）如果，要求（5）分段函数的定义域：是将分段函数所有的取值区间做并集。6、函数的表示法：表示函数通常用公式法辅之以图示法（数形结合）。例题精讲(P4-P5)1、求下列函数的定义域：（1）（历年真题） （2）（历年真题）（3） （4）二、 函数的几种常见性态（有界性、单调性、奇偶性、周期性）1、有界性（1）有上界：满足（存在常数M）上不去（2）有下界：满足（存在常数m）下不来（3）有界: 满足（存在正常数M）事实上：，有界即既有上界又有下界。从图像上观察，有界函数的图形会被两条平行于x轴的直线夹在中间。（4）无界（5）常用有界函数： ， ， ，
5、 ， 2、单调性（1）概念（2）讨论函数的单调性和有界性都不能离开函数的定义区间。3、奇偶性（1）概念：注意奇偶函数的定义域须关于原点对称（2）判断奇函数的方法：或者（3）奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇+偶=非奇非偶奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇（4）非奇非偶函数，即对于函数，存在，有且4、周期性（1）概念（2）的最小正周期都是，的最小正周期都是。 、的最小正周期都是例题精讲2、函数区间在（ ）有界（历年真题） A（0,1）B.（0，） C. （1，） D（1,2）3、判断下列函数的奇偶性：（1） （2）（3） （4）4、讨论下列函数的周期性，如果是周期函数，求出其周期。（1） （2） （3）
6、三、反函数（1）概念（2）单调函数一定存在反函数，且原函数和反函数单调性一致。（3）原函数和反函数的图形关于直线对称。（4）反函数的求法。例题精讲5、求函数 的反函数并指出其定义域。四、基本初等函数（1）要求熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）的表达式、定义域、值域、图像（要记忆）及4种性态。（P9-P11）（2）常见的幂函数图形：、。（3）掌握指数函数、对数函数、四类三角函数、的图形。（4）掌握反三角函数的定义域，主值区间和图形。根据图形记忆： （5）掌握三角函数的常用公式。五、复合函数（1）概念（2）会求复合函数（2）能正确分析复合函数复合过程（前提：熟
7、练掌握各基本初等函数的表达式）六、初等函数（1）概念（2）一般说来，分段函数不是初等函数。例题精讲6、已知函数的定义域是，求下列函数的定义域：（1） （2） （3） （4）7、填空题：（1）设的定义域为，则函数的定义域为_（历年真题）（2）设的定义域为，则的定义域是_（3）设的定义域为，则的定义域是_（4）设，则的定义域是_（5）设，则_8、已知，试求9、引入适当的中间变量，将下列函数分解为几个简单函数的复合：（1） （2） （3）10、设函数（1）做函数的图形，并写出其定义域；（2）求复合函数。11、设函数 ， ，求。12、设，求。第二节 极限的概念与运算一、 数列极限1、如果数列满足，则称
8、数列收敛。否则称数列发散。2、如果数列有一个子列极限不存在，或者有两个子列极限存在但不相等，则数列发散。如数列二、函数极限1、2、3、极限值与函数值是否存在无关。例题精讲（P21） 1、函数在处（）A.有定义且有极限 B.无定义但有极限 C.有定义但无极限 D.无定义且无极限2、，则_，_。3、设函数 当为何值时，在点处极限存在？ 4、若存在，且，求。5、设，求与的值。三、无穷小和无穷大1、无穷小:极限为0（绝对值无限变小）的变量。记作：（判定无穷小的方法）. 特例：常数0是无穷小。2、无穷大：绝对值无限变大的变量。记作：.3、无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，（1） 有限个无穷小的和、差
9、、积以及常数和无穷小的积仍为无穷小。（2） 有界函数和无穷小的积仍为无穷小。（3）若是无穷大，则是无穷小；若是无穷小，则是无穷大。（判定无穷大的方法）4、无穷小的比较 设和都是在自变量同一变化过程中的无穷小，且（1） 如果，则称是比高阶的无穷小，记作（2） 如果，则称是比低阶的无穷小。 （3）如果，则称与是同阶无穷小。（4）如果，则称是与是等价无穷小，记作。5、常见的等价无穷小（记忆）：当时， , 例题精讲（P30）6、当时，是的（ ）（历年真题） A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小7、当时，下列与是等价无穷小量的是（ ）（历年真题） A B. C. D. 8、当时
10、，下列结论不正确的是（ ）（历年真题）A B. C. D. 9、下列函数在指定的变化过程中，（）是无穷小量。 A.B. C. D. 10、当时，与等价的无穷小是（）A. B. C. D. 11、当时，与是等价无穷小，则_。 四、极限的计算方法1、函数极限的计算公式和法则同样适用于数列极限的计算。2、基本结果：（1） （2）（3） （4）3、初等函数的连续性：如果初等函数在点有定义，则。4、极限的四则运算法则（略）基本题型I：求，且在点有定义，则。基本题型：求，而在点无定义，通过因式分解、有理化或者通分等恒等变换化简后，回到基本题型I。基本题型：求，分子分母同时除以的最高次方。可以记忆公式：当,
11、为非负整数时，有 5、两个重要极限重要极限 ： 一般形式：（须满足）重要极限 ： 一般形式：（须满足）（须满足）可以记忆公式：6、有界函数与无穷小之积仍为无穷小（1）记忆几个有界函数： ， ， ， ， （2）举例：求 解：，又， 原式。（3）注意以下四个极限： 7、等价无穷小替换原理（1）记忆常见的等价无穷小当时， , （2）注意等价无穷小的一般形式（3）在自变量同一变化过程中，都是无穷小，且，如果存在，那么 = 注意：相乘除的无穷小可以用各自的等价无穷小替换，相加减的无穷小不能用各自的等价无穷小替换8、极限存在准则 （1）夹逼准则（2）单调有界收敛准则9、洛比达法则（1）型未定式 设函数和满
12、足：，在的某个去心领域内和均可导，且（A可为有限常数也可为）则有 （2）型未定式设函数和满足：，在的某个去心领域内和均可导，且（A可为有限常数也可为）则有 （3）如果题目须不止一次使用洛必达法则，那么每次使用法则之前都需要判断是否为型或型（4）注意洛必达法则与其他极限运算法则结合起来使用（5）其他可以化为型或型的未定式未定式型可以化为型或型未定式型可通过通分等恒等变换化为型或型未定式型可以利用先化为型，最终化为型或型例题精讲12、（） A B. C. D. 13、（）A-1 B. C. 1 D. 14、，则（）A B. C. D. 15、如果都不存在，则（） A一定存在 B. 一定不存在 C. 0 D. 不能确定16、如果，则_17、_18、_（历年真题）19、_（历年真题）计算题：20、 21、 22、 23、 24、 25、 26、 27、28、 29、 39、31、 32、33、 34、 35、 36、 37、 38、39、 40、 41、 42、 43、44、
